Wie viele nicht reduzierbare Brüche gibt es mit dem Nenner 20?

In der Mathematik sind unokratische Brüche ein wichtiges Konzept, besonders wenn sie mit Brüchen arbeiten. Allerdings denken nur wenige Menschen darüber nach, wie viele nicht reduzierbare Brüche mit einem bestimmten Nenner tatsächlich existieren. In diesem Artikel werden wir uns mit der Frage befassen, wie viele nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 20 existieren.

Ein nicht reduzierbarer Bruch ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner außer 1 keine gemeinsamen Teiler haben. Solche Brüche können nicht vereinfacht werden und sind eindeutige Zahlen.

Um das Problem der Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 zu lösen, müssen Sie verstehen, welche Zahlen mit 20 gegenseitig einfach sind. Gegenseitig Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler außer 1, und bei der Division ergibt keiner von ihnen einen Rest.

Die Existenz von nicht reduzierbaren Brüchen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche zu bestimmen:

1. Die Zählmethode. Bei dieser Methode durchlaufen wir alle Zahlen bis zum Nenner und prüfen, ob jeder Bruch unbeschränkbar ist. Für eine gegebene Aufgabe, wenn der Nenner 20 ist, überprüfen wir jede Zahl zwischen 1 und 20 und überlegen, wie viele von ihnen unbeschränkt sind.
2. Methode der mathematischen Analyse. Es gibt eine Formel, mit der Sie die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit einem bestimmten Nenner finden können. Für diesen Fall sieht die Formel so aus: Die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 ist gleich dem Produkt aller Primzahlen, kleiner oder gleich 20, abzüglich der Summe aller Werke verschiedener Primzahlenkombinationen.

In diesem Beispiel verwenden wir die erste Zählmethode, da sie einfacher ist und es einfach macht, die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 zu bestimmen. Die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 beträgt 8.

Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche

Um die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 zu bestimmen, müssen Sie alle Zahlen von 1 bis 20 berücksichtigen und sie mit jeder der Zahlen von 2 bis zur Wurzel von 20 auf Kontraktilität prüfen.

Mit dieser Methode können Sie feststellen, dass die folgenden Zahlen keine gemeinsamen Teiler mit 20 haben und daher nicht reduzierbare Brüche sind: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Somit ist die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 gleich 8.

Methoden zur Definition

Es gibt mehrere Methoden, um die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 zu bestimmen:

1. Brute-Force-Methode: wir durchlaufen alle Zähler von 1 bis 20 und überprüfen für jeden Zähler, ob der Nenner restlos durch ihn geteilt wird. Wenn ja, ist der Bruch kontraktiv und zählt nicht. Wenn nicht, ist der Bruch unbeschränkbar und zählt.
2. Methode zur Verwendung des Euler-Satzes: verwenden wir das Euler-Theorem, das besagt, dass die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner n der Euler-Funktion von n entspricht. Um also die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 zu bestimmen, müssen Sie den Wert der Euler-Funktion von 20 berechnen.
3. Methode zur Verwendung einer Formel: mit einer Formel, mit der wir die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner n berechnen können, erhalten wir die Antwort für n = 20.

Jede dieser Methoden hat ihre eigenen Vor- und Nachteile, daher hängt die Wahl der Methode von der spezifischen Aufgabe und den Vorlieben des Forschers ab.

Der Nenner ist 20

Lassen Sie uns zunächst sehen, welche Zahlen in einem Zähler eines nicht reduzierbaren Bruchs mit dem Nenner 20 enthalten sein können. Der Nenner ist 20, daher kann der Zähler Werte von 1 bis einschließlich 19 annehmen.

Betrachten wir nun jeden dieser Werte separat und finden Sie alle nicht reduzierbaren Brüche für jeden Zähler.

Alle diese Brüche sind unzerstörbar und haben einen Nenner von 20.

Konstruktionsalgorithmus

Sie können den folgenden Algorithmus verwenden, um alle nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20 zu finden:

1. Erstellen Sie eine leere Liste zum Speichern nicht reduzierbarer Brüche.
2. Gehen Sie durch alle Zahlen von 1 bis 20 (einschließlich).
3. Überprüfen Sie für jede Zahl, ob sie mit 20 zueinander einfach ist.
4. Wenn die Zahl mit 20 zueinander ist, fügen Sie sie der Liste hinzu.

Als Ergebnis der Ausführung des Algorithmus enthält die Liste alle nicht reduzierten Brüche mit dem Nenner 20. Die Anzahl der Elemente in der Liste entspricht der Anzahl aller nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 20.

1. Es gibt 8 nicht reduzierbare Brüche mit einem Nenner von 20.

2. Alle diese Brüche können als Tabelle dargestellt werden:

3. Alle diese Brüche können nicht verkürzt werden, dh sie haben keine gemeinsamen Teiler außer 1.

4. Diese Brüche können in verschiedenen Kontexten verwendet werden, z. B. in Finanzberechnungen, Statistiken oder bei der Lösung von Anteilen und Prozentsätzen.