Die umgekehrte Matrix ist eines der grundlegenden Konzepte in der linearen Algebra und mathematischen Analyse. Dies ist eine Matrix, deren Multiplikation mit der ursprünglichen Matrix eine Einheitsmatrix ergibt. Das Finden einer umgekehrten Matrix ist eine wichtige Aufgabe, die in verschiedenen Bereichen verwendet wird, einschließlich Physik, Ingenieurwesen, Wirtschaft und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine umgekehrte Matrix zu finden, und in diesem Artikel werden wir zwei davon betrachten. Der erste Weg ist durch die Gauss-Jordan-Formel und der zweite ist durch das Finden von algebraischen Ergänzungen. Welches zu wählen ist, hängt von Ihrer Präferenz und Ihrem Komfort in der jeweiligen Situation ab.
Die erste Methode basiert darauf, die ursprüngliche Matrix mit elementaren Zeilenoperationen zu transformieren. Wir suchen nach einer umgekehrten Matrix, indem wir die ursprüngliche Matrix in eine einzelne Form bringen. Dies wird erreicht, indem die Elemente auf der Hauptdiagonale auf 1 gesetzt und die restlichen Elemente in Spalten mit Nicht-Null-Elementen auf der Diagonale auf Null gesetzt werden.
Die zweite Methode basiert auf der Verwendung von algebraischen Ergänzungen. Für jedes Element in einer Matrix finden wir seine algebraische Ergänzung, die als das Produkt eines Moll-Elements für das entsprechende Vorzeichen definiert ist, abhängig von der Position des Elements in der Matrix. Dann transponieren wir die resultierende Matrix der algebraischen Ergänzungen und teilen sie durch den Determinanten der ursprünglichen Matrix.
Methode 1: Gauß-Methode
Schritte der Gauß-Methode:
Schritt 1: Wir ordnen die Zeilen der Matrix so um, dass die Hauptelemente (die Elemente auf der Hauptdiagonale) ungleich Null sind.
Schritt 2: Wir wenden elementare Transformationen auf die Zeilen der Matrix an, so dass jedes Hauptelement gleich 1 wird. Um dies zu tun, teilen wir jede Zeile in das entsprechende Hauptelement auf.
Schritt 3: Wir wenden elementare Transformationen auf die Zeilen der Matrix an, so dass alle anderen Elemente in der Spalte, die das Hauptelement der i-ten Zeile enthält, gleich Null sind. Dazu subtrahieren wir von jeder Zeile die i-ten Zeile, multipliziert mit dem entsprechenden Element der gestuften Form der i-ten Zeile.
Schritt 4: Die resultierende gestufte Matrix ist eine obere rechteckige Matrix. Wir definieren die Hauptelemente der Matrix und wenden elementare Transformationen an, damit jedes Hauptelement gleich 1 wird.
Schritt 5: Wir wenden elementare Transformationen auf die Zeilen der Matrix an, damit alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null werden.
Schritt 6: Wir erhalten eine umgekehrte Matrix, indem wir die gleichen Elementartransformationen auf eine Einheitsmatrix anwenden.
Die Verwendung der Gauß-Methode ermöglicht es daher, die umgekehrte Matrix effektiv zu finden, indem nur elementare Transformationen angewendet werden. Es ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der linearen Algebra und findet breite Anwendung in verschiedenen Bereichen von Wissenschaft und Technologie.
Methode 2: Algebraische Additionsmethode
Als nächstes müssen Sie die resultierende Matrix transponieren und die Zeilen und Spalten austauschen. Danach müssen Sie eine inverse Determinante finden, die der inverse Determinante der ursprünglichen Matrix entspricht. Um dies zu tun, können Sie die Formel verwenden: Inverse Determinante = 1 / Determinante.
Um eine inverse Matrix zu finden, ist es letztendlich notwendig, die resultierende transponierte Matrix von algebraischen Ergänzungen mit der Inverse Determinante zu multiplizieren.
Beispiel für die Berechnung einer umgekehrten Matrix mit der Gauss-Methode
Zuerst müssen Sie eine quadratische Matrix A haben, für die wir die umgekehrte Matrix finden wollen. Zuerst erstellen wir eine erweiterte Matrix, indem wir rechts eine Einheitsmatrix E zu A hinzufügen.
Lass Matrix A gegeben werden:
| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |
Erstellen Sie eine erweiterte Matrix [A|E]:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 4 5 6 | 0 1 0 || 7 8 9 | 0 0 1 |
Dann wenden wir elementare Transformationen an, um die linke Seite der Matrix in eine Einheitsform zu bringen. Während der Transformation wird die rechte Seite der Matrix in umgekehrter Richtung zu A angezeigt.
Subtrahieren wir die erste von der zweiten Zeile, multipliziert mit 4:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 0 -3 -6 |-4 1 0 || 7 8 9 | 0 0 1 |
Subtrahieren wir die erste von der dritten Zeile, multipliziert mit 7:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 0 -3 -6 |-4 1 0 || 0 -6 -12 |-7 0 1 |
Teilen Sie die zweite Zeile durch -3:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 0 1 2 | 4 -1 0 || 0 -6 -12 | -7 0 1 |
Subtrahieren wir die zweite von der ersten Zeile, multipliziert mit 2:
| 1 0 -1 | -7 2 0 || 0 1 2 | 4 -1 0 || 0 -6 -12 | -7 0 1 |
Subtrahieren wir von der dritten Zeile die zweite, multipliziert mit -6:
| 1 0 -1 | -7 2 0 || 0 1 2 | 4 -1 0 || 0 0 0 | 17 6 1 |
Jetzt wurde eine Einheitsmatrix auf der linken Seite der Matrix erhalten. Die rechte Seite der Matrix entspricht der umgekehrten Matrix A:
| -7 2 0 || 4 -1 0 || 17 6 1 |
Daher ist die umgekehrte Matrix für die ursprüngliche Matrix A gleich:
| -7/17 2/17 0 || 4/17 -1/17 0 || 17/17 6/17 1 |
Beispiel für die Berechnung einer umgekehrten Matrix durch algebraische Ergänzungen
Angenommen, wir haben eine quadratische Matrix A in der Größe n x n und wir möchten ihre umgekehrte Matrix finden. Die umgekehrte Matrix wird als A^(-1) bezeichnet.
Schritte zur Berechnung der umgekehrten Matrix durch algebraische Additionsmethode:
- Finden wir den Determinanten der Matrix A, der als det (A) bezeichnet wird.
- Für jedes Element a(ij) der Matrix A finden wir die algebraische Ergänzung A(ij).
- Wir transponieren die Matrix der algebraischen Ergänzungen (A(ij))^T.
- Wir berechnen die umgekehrte Matrix A^(-1) als Produkt einer transponierten Matrix von algebraischen Ergänzungen (A(ij))^T bei 1/det(A): A^(-1) = (A(ij))^T / det(A).
Lass uns Matrix A haben:
1. Finde den Determinator der Matrix A:
det(A) = 1 * 4 - 2 * 3 = -2
2. Finden wir die algebraischen Ergänzungen für jedes Element der Matrix A:
So erhalten wir eine Matrix von algebraischen Ergänzungen:
3. Wir transponieren eine Matrix von algebraischen Ergänzungen:
4. Finden wir die umgekehrte Matrix A^(-1) nach der Formel A^(-1) = (A*)^T / det(A):
Daher ist die umgekehrte Matrix von Matrix A gleich:
Das ist die Antwort.
Sie können es auch mögen
Wie man mit eigenen Händen einen Zaun für Zimmerblumen herstellt
Zimmerblumen sind ein beliebtes Schmuckstück vieler Häuser. Sie schaffen eine gemütliche Atmosphäre und verleihen dem Interieur einen besonderen Charme. Wenn Sie jedoch Kinder haben.
So verwenden Sie den Starline a91 Autoalarm richtig für Ihr Fahrzeug
Die Starline A91 ist eine der beliebtesten auf dem Markt. Es zeichnet sich durch Zuverlässigkeit, Haltbarkeit und breite Funktionalität aus. Doch.
Microsoft Office 365-Aktivator für Windows 10 KMS
Microsoft Office 365 ist eine beliebte Office-Suite, die eine breite Palette von Funktionen bietet, um die Produktivität zu steigern und zu verbessern.
Wie synchronisiere ich Honor-Kontakte mit Google
Die Synchronisierung von Kontakten zwischen Geräten ist für viele Smartphone-Nutzer eine wichtige Aufgabe. Dadurch können Sie bequem verwalten und aktualisieren.
- Feedback
- Nutzungsbedingungen
- Datenschutz
