Das beschriebene Dreieck ist ein Dreieck, das so in einen Kreis geschrieben ist, dass jede Seite des Dreiecks diesen Kreis berührt. Sie können fragen, wie Sie die Höhe des beschriebenen Dreiecks nur anhand seines Radius bestimmen können.
Die Höhe des beschriebenen Dreiecks ist der Abstand von einer Ecke des Dreiecks zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Sie können zwei Methoden verwenden, um die Höhe eines beschriebenen Dreiecks anhand eines Radius zu bestimmen: eine Methode mit einer Formel und eine Methode mit einer geometrischen Struktur.
Die Methode, die eine Formel verwendet, basiert auf der Anwendung des Pythagoras. Die Höhe des beschriebenen Dreiecks im Quadrat entspricht der Differenz zwischen dem Quadrat des Radius und der Summe der Quadrate der Hälften der Seiten des Dreiecks. Daher ist die Höhe des beschriebenen Dreiecks gleich der Quadratwurzel aus der Differenz des Radius-Quadrats und der Summe der Quadrate der Hälften der Seiten des Dreiecks.
Bestimmen der Höhe eines Dreiecks entlang des Radius um ihn herum
| Radius um ein Dreieck: | r |
| Seite des Dreiecks: | a |
| Höhe des Dreiecks: | h |
Die Formel zur Bestimmung der Höhe eines Dreiecks lautet wie folgt:
h = 2 * r
Um also die Höhe eines Dreiecks nach dem Radius zu berechnen, muss der Radius mit 2 multipliziert werden. Dies liegt daran, dass der Radius des beschriebenen Kreises die Diagonale eines Rechtecks ist, in das ein Dreieck eingefügt werden kann, und die Höhe des Dreiecks entspricht einer der Seiten des Rechtecks.
Das Ergebnis ist ein Wert für die Höhe des Dreiecks, der zur Lösung von Problemen und weiteren Berechnungen verwendet werden kann.
Winkel des Dreiecks und Radius
Das in der Nähe des Kreises beschriebene Dreieck hat eine besondere Eigenschaft – die Winkel, die von den Ecken des Dreiecks und dem Mittelpunkt des Kreises gebildet werden, sind immer gleich.
Lassen Sie uns die Winkel des Dreiecks als α, β und γ bezeichnen. Bezeichnen wir auch den Radius des Kreises als R.
Aus der Eigenschaft des Dreiecks, das in der Nähe des Kreises beschrieben wird, folgt, dass:
α = β = γ
Als nächstes können wir das Verhältnis zwischen den Winkeln eines Dreiecks und den Seiten verwenden, um die Höhe des Dreiecks zu bestimmen:
Wobei h die Höhe des Dreiecks ist.
Mit diesem Verhältnis können wir die Höhe eines Dreiecks bei einem gegebenen Radius des Kreises finden.
Elemente eines eingeschriebenen Dreiecks
Innerhalb eines eingeschriebenen Dreiecks können Sie einige wichtige Elemente auswählen:
| Elementname | Die Beschreibung |
|---|---|
| Winkelhalbierende | Eine Linie, die den Winkel eines Dreiecks in zwei Hälften teilt und senkrecht zur Seite des Dreiecks steht. |
| Höhe | Senkrecht von der Spitze des Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite gesenkt. |
| Median | Eine Linie, die den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet. |
| Umfang beschrieben | Ein Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft. |
| Eingeschriebener Kreis | Ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks berührt und darin liegt. |
| Höhe Basis | Der Schnittpunkt der Höhe mit der Basis des Dreiecks. |
| Radius | Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises, der beschrieben wird, zu jedem Eckpunkt des Dreiecks. |
| Radius des eingeschriebenen Kreises | Der Abstand vom Mittelpunkt des eingegebenen Kreises zu jeder Seite des Dreiecks. |
Wenn Sie den Radius des beschriebenen Kreises kennen, können Sie ihn in einer Formel verwenden, um die Höhe eines eingeschriebenen Dreiecks zu bestimmen.
Beziehung zwischen Radius und Seiten eines Dreiecks
Erstens, da der Radius eines Kreises ein Segment ist, ist er gleichzeitig der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu jedem Eckpunkt des Dreiecks. Somit ist der Radius gleichmäßig zwischen den Ecken des Dreiecks verteilt.
Zweitens können Sie feststellen, dass der Radius des Kreises und die Seiten des Dreiecks ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Da der Radius eines Kreises ein gleichmäßiger Abstand von der Mitte zu den Eckpunkten eines Dreiecks ist, hat jedes der drei Dreiecke einen rechten Winkel an der Basis. Dies bedeutet, dass der Radius und die Seiten des Dreiecks senkrecht sind und rechte Winkel bilden.
Man kann auch bemerken, dass der Radius und die Seiten durch den Satz des Pythagoras verbunden sind. Nach diesem Theorem ist das Quadrat des Radius gleich der Summe der Quadrate der beiden Seiten des Dreiecks. Wenn Sie also den Radius und eine Seite kennen, können Sie die zweite Seite des Dreiecks berechnen.
Der Radius des Kreises, der das Dreieck beschreibt, ist also durch die rechten Winkel und den Satz des Pythagoras mit den Seiten des Dreiecks verbunden. Diese Beziehung ermöglicht es Ihnen, die Höhe eines Dreiecks anhand des Radius um ihn herum zu bestimmen und umgekehrt.
Formel zur Berechnung der Höhe
Sie können die folgende Formel verwenden, um die Höhe des beschriebenen Dreiecks zu berechnen:
- Höhe = 2 * Radius * sin(Winkel)
In dieser Formel ist der Radius der Abstand vom Mittelpunkt des beschriebenen Kreises zu einem der Eckpunkte des Dreiecks, und der Winkel ist der Winkel, der durch die geraden Linien gebildet wird, die die Eckpunkte des Dreiecks mit dem Mittelpunkt des beschriebenen Kreises verbinden.
Wenn Sie also den Radius- und Winkelwert kennen, können Sie leicht die Höhe des beschriebenen Dreiecks bestimmen. Diese Formel wird häufig in Geometrie und Mathematik verwendet, um verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Dreiecken zu lösen.
Beispiel für die Berechnung der Höhe eines Dreiecks
Sie können die folgende Formel verwenden, um die Höhe des beschriebenen Dreiecks um den Radius herum zu berechnen:
h = (2 * r) / a,
wo h - höhe des Dreiecks, r - der Radius des beschriebenen Kreises, a - die Länge einer der Seiten des Dreiecks.
Zum besseren Verständnis geben wir ein Beispiel für die Berechnung der Höhe eines Dreiecks:
Lassen Sie den Radius des beschriebenen Kreises ausmachen 4 cm und die Länge der Seite des Dreiecks ist gleich 6 cm. Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir:
h = (2 * 4 cm) / 6 cm
Daher beträgt die Höhe des Dreiecks bei diesen Werten für Radius und Seitenlänge ungefähr 1,33 cm.
