Das Verständnis und die Verwendung von Methoden, um die Nullen einer Funktion im Zeitplan zu finden, ist ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Ausbildung von Schülern. Mit diesen Methoden können Sie die Argumentwerte ermitteln, bei denen die Funktion auf Null zurückgesetzt wird, und so die Wurzeln von Gleichungen finden.
In dieser Lektion werden wir detaillierte Anweisungen zur Verwendung von zwei grundlegenden Methoden zur Suche nach Nullen einer Funktion betrachten: einer grafischen und einer Intervall-halben. Die grafische Methode besteht darin, ein Funktionsdiagramm zu zeichnen und den Schnittpunkt des Diagramms mit der Abszissenachse zu bestimmen. Die Intervall-Halb-Methode basiert auf der Anwendung numerischer Annäherungen und der konsequenten Teilung des Intervalls in Hälften, bis die Genauigkeit einen bestimmten Wert erreicht hat.
Wir empfehlen die Verwendung der grafischen Methode in Situationen, in denen Sie die Möglichkeit haben, einen Funktionsgraphen zu erstellen. Andernfalls ist die Intervall-Halb-Methode universell und kann für jede Funktion verwendet werden. Die Kombination dieser beiden Methoden hilft Ihnen dabei, die Wurzeln von Funktionen genau und zuverlässig zu finden und Gleichungen in der Praxis zu lösen.
Methoden zur Suche nach Nullen einer Funktion
Es gibt mehrere Methoden, um die Nullen einer Funktion zu finden.
Graph-Methode
Eine der einfachsten Methoden besteht darin, eine Funktion zu zeichnen und Schnittpunkte mit der Abszissenachse zu definieren. Wenn der Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt Null ist, wird dieser Punkt der Nullpunkt der Funktion sein. Sie können ein Diagramm einer Funktion erstellen, indem Sie ihren analytischen Ausdruck kennen oder einen grafischen Taschenrechner verwenden.
Ersetzungsmethode
Eine andere Möglichkeit, die Nullen einer Funktion zu finden, ist die Ersetzungsmethode. In dieser Methode ersetzen wir verschiedene Werte für das Argument und finden die entsprechenden Funktionswerte. Wenn der Funktionswert Null ist, ist der entsprechende Argumentwert der Funktionswert Null.
Dichotomie-Methode
Die Dichotomiemethode ist eine numerische Methode, um die Nullen einer Funktion zu finden. Es basiert auf dem Prinzip der Teilung eines Segments in zwei Hälften, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Die Methode der Dichotomie erfordert nur die Kenntnis der Grenzen des Bereichs, in dem sich die Null der Funktion befindet.
Newton-Methode
Die Newton-Methode ist eine iterative Methode, um die Nullen einer Funktion zu finden. Es basiert auf der Linearisierung der Funktion in der Nähe eines Punktes und der sequentiellen Annäherung an Null mithilfe der Newton-Formel.
Die Verwendung dieser Methoden ermöglicht es Ihnen, die Nullen einer Funktion zu finden und ihre Eigenschaften zu untersuchen. Sie können bei der Lösung mathematischer Probleme und bei der Analyse von Funktionen nützlich sein.
Methode der tangentialen Geraden
Um die Methode der tangentialen Geraden anzuwenden, müssen Sie die grundlegenden Eigenschaften der abgeleiteten Funktion kennen:
- Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt entspricht der Neigung der Tangente einer Tangente, die gerade zum Graphen der Funktion an diesem Punkt neigt.
- Wenn der Neigungswinkel der Tangentenlinie positiv ist, erhöht sich die Funktion an diesem Punkt. Wenn der Neigungswinkel negativ ist, nimmt die Funktion an diesem Punkt ab.
- Wenn der Neigungswinkel der Tangentenlinie Null ist, weist die Funktion an diesem Punkt ein Extremumfeld auf.
Der Prozess der Anwendung der Tangenten-Geraden-Methode besteht aus den folgenden Schritten:
- Wir finden einen Punkt im Funktionsdiagramm, an dem wir die Null der Funktion finden müssen.
- Wir konstruieren an diesem Punkt eine Tangente direkt zum Funktionsdiagramm.
- Wir bestimmen den Neigungswinkel der Tangente einer geraden Linie und vergleichen ihn mit Null.
- Wenn der Neigungswinkel positiv ist, bewegen wir uns nach rechts und suchen nach dem Punkt, an dem der Neigungswinkel der Tangente negativ wird.
- Wenn der Neigungswinkel negativ ist, bewegen wir uns nach links und suchen nach dem Punkt, an dem der Neigungswinkel der Tangente positiv wird.
- Wir bewegen uns weiter, bis der Neigungswinkel der Tangente nahe Null ist.
- Die Null der Funktion befindet sich an dem Punkt, an dem der Neigungswinkel der Tangente nahe Null wird.
Die Methode der tangentialen Geraden kann bei der Lösung von Aufgaben zur Definition der Funktionswurzeln nützlich sein, insbesondere wenn das Funktionsdiagramm eine komplexe Form hat und nicht analytisch gelöst werden kann.
Methode zum Teilen eines Segments in zwei Hälften
Das Wesen der Methode ist wie folgt. Im Anfangsbereich können Sie den Mittelpunkt markieren und den Wert der Funktion an diesem Punkt definieren. Wenn der Wert der Funktion 0 ist, enthält diese Linie den Stamm. Wenn die Funktionswerte an den Enden der Linie unterschiedliche Zeichen haben, befindet sich die Wurzel der Funktion auf dieser Linie. In diesem Fall wird das Segment in zwei gleiche Teile geteilt, und die Methode basiert auf der Auswahl des Teils, auf dem die Funktion an den Enden unterschiedliche Werte aufweist. Die Segmentzerlegung wird fortgesetzt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist oder die Segmente klein genug sind.
Ein Beispiel:
Die Funktion f (x) = x^2 - 4 ist gegeben und es ist notwendig, die Wurzel auf der Strecke zu finden [0, 3].
In diesem Segment sind die Funktionswerte an den Enden verschiedener Zeichen: f(0) = -4, f(3) = 5. Auf dieser Grundlage befindet sich die Wurzel der Funktion in diesem Segment.
Weiter ein Abschnitt [0, 3] in zwei Hälften geteilt: [0, 1.5] und [1.5, 3]. Funktionswerte an den Schnittenden [0, 1.5] gleicher: f(0) = -4, f(1.5) = 1.25. Es ist offensichtlich, dass die Funktionswerte an den Enden der Strecke liegen [1.5, 3] es gibt auch verschiedene Zeichen: f (1.5) = 1.25, f(3) = 5. Die Wurzel der Funktion befindet sich also auf der Strecke [1.5, 3].
Das Teilen eines Segments in zwei Hälften wird fortgesetzt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist oder die Segmente klein genug sind. Am Ende können Sie den ungefähren Wert des Funktionswurzelwerts mit der angegebenen Genauigkeit erhalten.
Akkord-Methode
Akkord-Methodenschritte:
- Die beiden Startpunkte a und b werden ausgewählt, so dass f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben.
- Wir finden den Schnittpunkt der Sehne mit der Achse der Abszisse. Wir berechnen den Wert der Funktion f(c) an diesem Punkt.
- Wenn f(c) ≈ 0 ist, ist c der ungefähre Wert des Funktionswurzelwerts.
- Andernfalls wählen wir einen neuen Akkord proportional zur Funktion f (x) aus und wiederholen die Schritte 2 und 3, bis der Wert von f (c) nahe genug an Null liegt.
Die Akkord-Methode gibt den ungefähren Wert des Funktionswurzelwerts an, erfordert jedoch Startpunkte, an denen die Funktion unterschiedliche Vorzeichen aufweist. Wenn der ursprüngliche Akkord ungenau gewählt wird, kann die Methode an der falschen Wurzel zusammenlaufen oder überhaupt nicht zusammenpassen.
Diese Methode hat einige Nachteile: es garantiert keine Konvergenz zur Wurzel und kann bei der Suche nach der Wurzel in einem großen Intervall langsam sein. Mit einer guten Auswahl an Startpunkten und Kenntnissen über das Funktionsdiagramm kann die Akkordmethode jedoch bei der Erkennung von Funktionswurzeln wirksam sein.
