Gerade ist eines der einfachsten Objekte in der Geometrie, hat aber dennoch seine eigenen Eigenschaften und interessanten Eigenschaften. Eine dieser Eigenschaften besteht darin, die Anzahl der Geraden zu bestimmen, die durch zwei angegebene Punkte verlaufen. Dieses wichtige Wissen wird weit verbreitet in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen und nicht nur in Mathematik verwendet.
Um die Anzahl der Geraden zu bestimmen, die durch zwei Punkte verlaufen, wird eine Formel verwendet, die als "Zweipunktformel" bekannt ist. Diese Formel besagt, dass nur eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte gezogen werden kann. Geometrisch bedeutet dies, dass zwei Punkte genau eine Linie definieren.
Betrachten Sie zum Beispiel die beiden Punkte A(2, 3) und B(5, 1). Durch die Formel wissen wir, dass nur eine Gerade durch diese beiden Punkte verläuft. Finden wir ihre Gleichung. Verwenden Sie dazu die Formel für die Neigung einer geraden Linie (y2 - y1) / (x2 - x1). Ersetzen wir die Koordinaten der Punkte A und B darin: (1 - 3) / (5 - 2) = -2 / 3. Jetzt müssen wir den freien b-Koeffizienten finden. Verwenden Sie dazu die Gleichung einer geraden Linie, die den Punkt A enthält: y - y1 = k (x - x1). Wir ersetzen die Werte darin: y - 3 = -2 / 3 (x - 2). Wir transformieren diese Gleichung und erhalten y = -2 / 3x + 8/3. Daher hat die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A und B verläuft, die Form y = -2/3x + 8/3.
Übersicht über gerade Linien, die durch zwei Punkte verlaufen
Die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft, ist ein algebraischer Ausdruck, mit dem Sie alle Punkte finden können, die auf einer gegebenen Geraden liegen. Die Formel besteht aus zwei Teilen: Der erste Teil enthält die Koordinaten des ersten Punktes und der zweite Teil enthält die Koordinaten des zweiten Punktes. Die Gleichung hat die Form:
| Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft: | (y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1) |
Mit dieser Formel können Sie die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch zwei angegebene Punkte verläuft. Betrachten Sie zum Beispiel zwei Punkte: A (2, 3) und B (5, 7). Um die Gleichung einer geraden Linie zu definieren, die durch diese Punkte verläuft, ersetzen wir ihre Koordinaten in eine Formel:
| Die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A (2, 3) und B (5, 7) verläuft: | (y - 3) / (x - 2) = (7 - 3) / (5 - 2) |
Als nächstes führen wir Berechnungen durch und vereinfachen den Ausdruck:
| (y - 3) / (x - 2) = 4 / 3 |
| (y - 3) * 3 = 4 * (x - 2) |
| 3y - 9 = 4x - 8 |
| 3y = 4x + 1 |
Daher hat die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A (2, 3) und B (5, 7) verläuft, die Form 3y = 4x + 1.
Aus dieser Gleichung können Sie verschiedene Eigenschaften einer geraden Linie erhalten, z. B. Neigungswinkel und Schnittpunkte mit Koordinatenachsen, und eine bestimmte Gerade auf einer Ebene zeichnen.
Formel zum Finden einer geraden Gleichung
Bei zwei Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) kann die Gleichung einer geraden Linie in der folgenden Form geschrieben werden:
y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)
wobei (x, y) die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dieser Geraden ist.
Diese Formel basiert auf der Tatsache, dass der Winkelkoeffizient einer geraden Linie (das Verhältnis von y zu x-Änderung) zwischen zwei Punkten dem Winkelkoeffizienten einer geraden Linie entspricht, die durch diese Punkte verläuft.
Betrachten wir ein Beispiel, um die Verwendung dieser Formel zu veranschaulichen.
Beispiele für das Finden einer Gleichung einer geraden durch zwei Punkte
Betrachten wir einige Beispiele für das Finden der Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei angegebene Punkte verläuft.
Die Punkte A (3, 2) und B (7, 6) sind angegeben. Finden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft.
Zuerst finden wir den Winkelkoeffizienten der geraden:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 2) / (7 - 3) = 4 / 4 = 1.
Jetzt haben wir einen Winkelkoeffizientenwert, es bleibt übrig, den Schnittpunkt mit der y (b) -Achse zu finden.
Verwenden Sie einen der Punkte A oder B, z. B. den Punkt A:
2 = 1 * 3 + b => b = 2 - 3 = -1.
Die Gleichung einer geraden durch die Punkte A(3, 2) und B(7, 6) würde also wie folgt aussehen:
Die Punkte C (-2, 1) und D (4, 3) sind angegeben. Finden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft.
Ähnlich wie im vorherigen Beispiel finden wir zuerst den Winkelkoeffizienten mit dem Winkelwert:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 1) / (4 - (-2)) = 2 / 6 = 1/3.
Wir finden den Schnittpunkt mit der y-Achse mit dem Punkt C:
1 = (1/3) * (-2) + b => b = 1 + (2/3) = 5/3.
Die Gleichung einer geraden durch die Punkte C(-2, 1) und D(4, 3) hat die Form:
