Mehrere Eigenschaften von Funktionen in der Mathematik kann verwendet werden, um Funktionen zu definieren und zu klassifizieren. Eine solche Eigenschaft ist Parität Funktionen. Gerade Funktionen haben die Besonderheit der Symmetrie relativ zur Ordinatachse, während ungerade Funktionen die Symmetrie relativ zum Ursprung aufweisen.
Lassen Sie uns diese Gleichung genauer betrachten. Wenn wir den positiven Wert x in die Gleichung setzen, erhalten wir: 8sin(3x) = 2x + 5. Wenn wir das Vorzeichen vor x ändern, erhalten wir: 8sin(3(-x)) = 2(-x) + 5. Betrachten wir nun die Gleichung für den negativen Wert von x: 8sin(3(-x)) = 2(-x) + 5. Wenn der Funktionswert beim Ersetzen von x durch -x unverändert bleibt, bedeutet dies, dass die Funktion ungerade ist.
Funktion und ihre Eigenschaften
Um festzustellen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Die Funktion f(x) ist geradzahliger wenn f(-x) = f(x) für ein beliebiges x im Funktionsdefinitionsbereich ist. Das heißt, wenn Sie x durch -x ersetzen und die Funktion ihren Wert behält.
- Die Funktion f(x) ist ungerader wenn f(-x) = -f(x) für ein beliebiges x im Funktionsdefinitionsbereich ist. Das heißt, wenn Sie x durch -x ersetzen und die Funktion ihren Wert mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ändert.
Betrachten wir nun die Gleichung 8sin(3x) = 2x + 5. Um festzustellen, ob diese Funktion ungerade ist, müssen Sie überprüfen, ob die Bedingungen erfüllt sind. Ersetzen wir den Wert -x in die Gleichung:
Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck nicht gleich dem ursprünglichen Ausdruck ist, aber ein glattes Aussehen hat. Das heißt, die Funktion ist nicht ungerade.
Was ist eine ungerade Funktion?
Eine ungerade Funktion wird als Funktion bezeichnet, für die die folgende Bedingung erfüllt ist: wenn das Funktionsargument durch eine entgegengesetzte Zahl ersetzt wird, ändert der Funktionswert das Vorzeichen, bleibt jedoch im Allgemeinen unverändert. Mathematisch kann dies wie folgt geschrieben werden:
- Wenn die Funktion f(x) ist ungerade, dann für jedermann x aus dem Funktionsdefinitionsbereich wird ausgeführt: f(-x) = -f(x).
- Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch relativ zum Ursprung.
- Beispiele für ungerade Funktionen: sin(x), x^3.
Funktionsgleichung
Um zu beweisen, dass die Funktion ungerade ist, können wir die Funktionsgleichung verwenden und die Ausführung der ungeraden Eigenschaft überprüfen.
In diesem Fall haben wir die Gleichung 8sin (3x) = 2x + 5. Um zu beginnen, müssen Sie x durch sin (3x) ausdrücken. Um dies zu tun, teilen wir beide Teile der Gleichung durch 8:
sin(3x) = (2x + 5) / 8
Jetzt können wir den rechten Teil der Gleichung betrachten. Wenn die Funktion ungerade ist, wird die folgende Eigenschaft ausgeführt:
f(-x) = -f(x)
Wenden wir diese Eigenschaft auf unsere Funktion an:
f(-x) = 8sin(3(-x)) = 8sin(-3x) = -8sin(3x)
Beachten Sie auch, dass:
-f(x) = -(2x + 5) / 8 = (-2x - 5) / 8
-8sin(3x) = (-2x - 5) / 8
Öffnen Sie die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung:
-8sin(3x) = -2x / 8 - 5 / 8
-8sin(3x) = -x / 4 - 5 / 8
Wir haben erhalten, dass die linke Seite der Gleichung gleich der rechten ist. So haben wir bewiesen, dass die Funktion ungerade ist.
Lösung der Gleichung
- Die Funktion f(x) ist ungerade, wenn f(-x) = -f(x) für ein beliebiges x.
Wenden wir diese Eigenschaft auf diese Gleichung an:
- Sei x = 0, dann 8sin(3*0) = 2*0 + 5, was zu einer Gleichheit von 0 = 5 führt, was eine falsche Aussage ist.
- Daher erfüllt die Gleichung 8sin(3x) = 2x + 5 die Bedingung für eine ungerade Funktion nicht.
Daher ist diese Funktion nicht ungerade.
Eigenschaften einer ungeraden Funktion
- Wenn der Graphen der Funktion symmetrisch zum Ursprung ist (d. H. Wenn der Graphen relativ zum Ursprung reflektiert wird, erhalten wir den ursprünglichen Graphen), ist die Funktion ungerade.
- Wenn der Funktionsausdruck beim Ersetzen von x durch -x (und umgekehrt) seine Form behält (z. B. sin(x) = -sin(-x)), ist die Funktion ungerade.
- Wenn die Funktion f(x) analytisch angegeben ist, können Sie überprüfen, ob f(-x) = -f(x) für alle x im Funktionsdefinitionsbereich vorhanden ist.
- Die ungeraden Eigenschaften lassen sich leicht überprüfen, indem Sie -x anstelle von x ersetzen und sicherstellen, dass die Gleichheit f(-x) = -f(x) erfüllt ist.
Verknüpfung von Gleichung und Funktionseigenschaften
Die ungerade Funktion ist symmetrisch relativ zum Ursprung. Das heißt, wenn die Funktion f(x) ist ungerade, dann wird die Bedingung erfüllt f(-x) = -f(x).
Betrachten Sie die Gleichung 8sin(3x) = 2x + 5. Die Gleichung enthält eine Sinusfunktion, die periodisch und ungerade ist. Das heißt, die Aussage ist fair sin(-x) = -sin(x).
Also, um zu beweisen, dass die Gleichung 8sin(3x) = 2x + 5 definiert eine ungerade Funktion, Sie müssen festlegen, dass sin(3(-x)) = -sin(3x).
grafische Darstellung
Die Funktion 8sin(3x) = 2x + 5 ist eine Sinuswelle mit einer Amplitude von 8 und einer Periode von 2π/3, die um 5 Einheiten nach unten und um 5 /6π Einheiten nach rechts verschoben wird.
Das Symmetriediagramm relativ zum Ursprung wird durch Ersetzen von x durch -x und y durch -y. Daher wird die Gleichung für das Symmetriediagramm wie folgt aussehen: 8sin (3(-x)) = 2(-x) + 5, was zu -8sin(3x) = -2x + 5 vereinfacht wird.
Wenn Sie die Gleichung und die Gleichung für das Symmetriediagramm vergleichen, stellen Sie fest, dass diese Gleichungen gleichwertig sind, da die rechte Seite jeder Gleichung gleich ist und sich der linke Teil nur durch das Vorzeichen vor dem Sinus unterscheidet.
Daher ist der Graphen der Funktion 8sin(3x) = 2x + 5 symmetrisch relativ zum Ursprung, und daher ist die Funktion ungerade.
Überprüfen der Symmetrie
Lass die Gleichung gegeben sein: 8sin(3x) = 2x + 5
Damit die Funktion ungerade ist, muss die folgende Bedingung erfüllt sein: f(x) = -f(-x)
Analysieren wir diese Gleichung und ersetzen Sie die Variable x durch -x:
8sin(3(-x)) = 2(-x) + 5
8sin(-3x) = -2x + 5
Damit diese Funktion ungerade ist, ist es daher notwendig, dass die Gleichung ausgeführt wird, damit diese Funktion ungerade ist 8sin(3x) = 2x + 5 gleichbedeutend mit der Gleichung 8sin(-3x) = -2x + 5.
Wenn beide Gleichungen die gleichen Lösungen haben, ist die Funktion ungerade. Dadurch haben wir bewiesen, dass die Funktion 8sin(3x) = 2x + 5 ist ungerade.
Beispiele für ungerade Funktionen
| Funktion | Zeitplan |
|---|---|
| sin(x) | |
| x^3 | |
| tan(x) |
Dies sind nur einige Beispiele für ungerade Funktionen, es gibt viele andere Funktionen in der Mathematik, die auch ungerade sind.
