Beweisen Sie, dass die Zahl n^3 - n durch 6 geteilt wird

Um zu beweisen, dass die Zahl n^3 - n für jede natürliche Zahl n durch 6 geteilt wird, können wir diese Zahl als ein Produkt von zwei Multiplikatoren darstellen. Der erste Multiplikator ist n und der zweite Multiplikator ist n^2 + n.

Wir wissen, dass das Produkt von zwei ganzen Zahlen durch 6 geteilt wird, wenn mindestens eine von ihnen durch 6 geteilt wird. Also müssen wir beweisen, dass n und (n^2 + n) durch 6 geteilt sind.

Nachweis der Division von n durch 6:

Wir wissen, dass jede sechste natürliche Zahl durch 6 geteilt wird. Daher müssen wir beweisen, dass es für jede natürliche Zahl n (6k + 1) ist, wobei k eine Ganzzahl ist. Stellen wir uns n als 6k + 1 vor.

Dann ist n = 6k + 1 = 6k + 0 + 1 = 6k + 6 - 5 = 6(k + 1) - 5. Also hat n die Form 6m - 5, wobei m = k + 1 eine ganze Zahl ist.

Wir sehen, dass bei jeder Erhöhung von n um 6 der Rest -5 beträgt. Dies bedeutet, dass n nicht ohne Rest durch 6 geteilt wird.

Teilungsnachweis (n^2 + n) durch 6:

Beachten Sie, dass (n^2 + n) = n(n + 1). Hier haben wir zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen n und (n + 1). Daher können wir den Nachweis der Division von n oder (n + 1) durch 2 (durch Induktion) anwenden, um zu beweisen, dass (n^2 + n) durch 2 geteilt wird. Der Nachweis der Division von n oder (n + 1) durch 3 erfolgt ähnlich.

Daher haben wir bewiesen, dass beide Multiplikatoren (n und (n^2 + n)) durch 6 geteilt sind. Daher ist die Zahl n^3 - n auch durch 6 teilbar.

Das Konzept der Teilung zielt darauf ab

Um zu überprüfen, ob die Zahl n^3 - n durch 6 geteilt wird, müssen Sie den Wert dieses Ausdrucks berechnen und prüfen, ob sie restlos durch 6 geteilt wird.

Um dies zu tun, können Sie den Divisionsalgorithmus gezielt verwenden:

1. Nehmen Sie die Zahl n^3 - n.
2. Teilen Sie es durch 6.
3. Wenn das Ergebnis der Division eine ganze Zahl ohne Rest ist, wird die Zahl n^3 - n durch 6 geteilt. Andernfalls wird es nicht geteilt.

Um also zu beweisen, dass die Zahl n^3 - n durch 6 geteilt wird, müssen Sie die angegebenen Schritte ausführen und sicherstellen, dass das Ergebnis der Division eine ganze Zahl ohne einen Rest ist.

Methode der mathematischen Induktion

Induktion basis: Ein Beweis für die Gültigkeit einer Behauptung für einen Anfangswert von n. Dies ist normalerweise eine Validierung der Behauptung für n=1 oder n=0.

Induktionsschritt: Die Annahme, dass die Aussage für einen festen, aber willkürlichen Wert von n=k gilt, und die Verwendung dieser Annahme, um die Gültigkeit der Aussage für n=k+1 zu beweisen.

Um die Methode der mathematischen Induktion auf den Beweis anzuwenden, dass die Zahl n^3 - n durch 6 teilbar ist, müssen wir die folgenden Schritte ausführen:

Induktion basis: Lassen Sie uns die Aussage für den Anfangswert n=1 überprüfen.

Indem wir n = 1 ersetzen, erhalten wir 1 ^ 3 - 1 = 0, was ein Vielfaches von 6 ist.

Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage gilt für einen Wert von n=k, dh angenommen, dass k^3 - k durch 6 geteilt wird.

Es muss nachgewiesen werden, dass die Aussage für den Wert von n=k+1 richtig ist.

Ersetzen Sie n=k + 1 in der ursprünglichen Aussage und erweitern Sie die Klammern:

(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k

Danach wählen wir den gemeinsamen Multiplikator 6 aus dem Ausdruck aus:

6 * (k^3 + 3k^2 + 2k/6) = 6 * [(k^3 - k)/6 + k^2 + k/2]

Daher sehen wir, dass die ursprüngliche Aussage für n=k+1 wahr ist, wenn sie für n=k wahr ist.

Hauptabschnitt 1

Um diese Behauptung zu beweisen, betrachten wir die Zahl n^3 - n als Produkt von zwei Multiplikatoren:

Offensichtlich ist n durch n teilbar, daher genügt es zu beweisen, dass jeder der Multiplikatoren durch 6 teilbar ist.

Der erste Multiplikator von n ist durch 6 geteilt, wenn n ein Vielfaches von 6 oder ein Vielfaches von 2 und eine ungerade Zahl ist. Sei n ein Vielfaches von 6, dann wäre n^2 - 1 auch ein Vielfaches von 6, da dies die Differenz von zwei Quadraten ist und jedes ein Vielfaches von 6 ist. Wenn n ein Vielfaches von 2 und eine ungerade Zahl ist, dann ist n^2 - 1 ein Vielfaches von 4, da dies die Differenz der beiden Quadrate ist, und ungerade, da (n^2 - 1) / 2 eine ganze Zahl sein wird. In beiden Fällen ist der erste Multiplikator n(n^2 - 1) ein Vielfaches von 6.

Der zweite Multiplikator n^2 - 1 ist auch durch 6 teilbar, da er als (n - 1)(n + 1) dargestellt werden kann. Jeder der Multiplikatoren ist eine aufeinanderfolgende gerade und ungerade Zahl, daher ist er ein Vielfaches von 2, und mindestens einer von ihnen ist ein Vielfaches von 3. Der zweite Multiplikator von n(n^2 - 1) ist also durch 6 geteilt.

Also ist jeder der Multiplikatoren durch 6 geteilt, daher ist die Zahl n^3 - n durch 6 geteilt.

Darstellung der Zahl n als 3k

Sei n = 3k, dann:

1. n^3 - n = (3k)^3 - 3k
2. = 27k^3 - 3k
3. = 3(9k^3 - k)

Beachten Sie, dass der Ausdruck 9k^3 - k das Produkt von zwei Multiplikatoren ist: 9k^2 und k - 1.

So kann n^3 - n als geschrieben werden:

Da 3 ein Multiplikator dieses Ausdrucks ist, wird n^3 - n durch 3 geteilt.

Auch da (k - 1) und k benachbarte Zahlen sind, ist eine von ihnen notwendigerweise durch 2 teilbar. Daher ist (9k^2)(k - 1) durch 2 geteilt.

Daher ist n^3 - n sowohl in 3 als auch in 2 unterteilt, was bedeutet, dass es durch ihr Produkt - 6 geteilt wird.

Nachweis der Division durch 2

Um zu beginnen, zerlegen wir die Zahl n^ 3 - n in Teilfaktoren:

Um zu verstehen, ob ein gegebener Ausdruck durch 2 geteilt wird, genügt es, herauszufinden, ob einer der zweifachen n, n-1 oder n+1 durch 2 geteilt wird.

Wenn wir durch 2 geteilt werden, erhalten wir zwei mögliche Situationen:

1. Wenn n eine gerade Zahl ist, wird n durch 2 geteilt
2. Wenn n eine ungerade Zahl ist, wird n-1 durch 2 geteilt

In beiden Fällen ist also einer der Nebenfaktoren n, n-1 oder n+1 eine gerade Zahl und wird durch 2 geteilt.

Es bleibt nur zu berücksichtigen, dass jeder dieser Teilfaktoren durch 2 geteilt wird, was bedeutet, dass auch ihr Produkt durch 2 geteilt wird.

Die Zahl n^3 - n ist also durch 2 geteilt.

Nachweis der Division durch 3

Schritt 1: Lassen Sie uns den Basisfall überprüfen, wenn n = 1 ist. Wir ersetzen den Wert n = 1 in die Formel und erhalten: 1 ^ 3 - 1 = 0. Offensichtlich ist 0 durch 3 teilbar, so dass der zugrunde liegende Fall ausgeführt wird.

Schritt 2: Angenommen, die Formel n^3 - n ist für eine ganze Zahl k durch 3 geteilt: k^3 - k ist durch 3 geteilt.

Schritt 3: Lassen Sie uns beweisen, dass die Formel (k + 1)^3 - (k + 1) auch durch 3 geteilt wird.

Erweitern wir die Klammern in der Formel (k + 1)^3 - (k + 1):

(k + 1)^3 - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k.

Unter der Annahme der Induktion ist k^3 - k durch 3 geteilt. Es ist auch offensichtlich, dass 3k^2 auch durch 3 geteilt wird. Daher wird die Summe dieser beiden Teile (k^3 - k) + 3k^2 auch durch 3 geteilt.

Wir haben also bewiesen, dass, wenn k^3 - k durch 3 geteilt wird, (k + 1)^3 - (k + 1) auch durch 3 geteilt wird.

Schritt 4: Basierend auf dem zugrunde liegenden Fall und der Induktionsannahme können wir daraus schließen, dass die Formel n^3 - n für alle natürlichen Zahlen n durch 3 geteilt wird.

Dies vervollständigt den Beweis, dass die Zahl n^3 - n durch 3 geteilt wird.

Hauptabschnitt 2

1. Wenn die Zahl n gerade ist, ist die Aussage gültig, dass n^3 - n durch 6 teilbar ist. Da eine gerade Zahl durch 2 geteilt wird, wird n auch durch 2 geteilt. Wir berechnen n ^ 3 - n: Wenn wir durch 2 geteilt werden, erhalten wir den Rest von 0, was bedeutet, dass die Zahl n^3 - n durch 2 geteilt wird. Da die Zahl n^ 3 auch das Produkt von drei geraden Zahlen (n *n * n) ist, ist sie durch 8 teilbar. Daher ist die Zahl n ^ 3 - n sowohl durch 8 als auch durch 2 geteilt, dh durch ihr Produkt 16, was bedeutet, dass es durch 6 geteilt wird.
2. Wenn die Zahl n ungerade ist, gilt auch die Aussage, dass n^3 - n durch 6 teilbar ist. Betrachten wir zwei Fälle:
   • Wenn n = 2k + 1 ist, wobei k eine natürliche Zahl ist, dann ist n^3 = (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1. Wenn wir durch 2 dividiert werden, erhalten wir den Rest von 1, dh n^3 ist auch ungerade. Der Rest von der Division von n durch 3 ist 1, daher können Sie n^3 - n = (n-1)* (n^2 + n + 1) schreiben, und wenn Sie durch 3 geteilt werden, ergibt der ursprüngliche Ausdruck den Rest von 0, dh geteilt durch 3.
   • Wenn n = 2k - 1 ist, wobei k eine natürliche Zahl ist, dann ist n^3 = (2k - 1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k - 1. Wenn wir durch 2 dividiert werden, erhalten wir den Rest von 1, dh n^3 ist auch ungerade. Der Rest von der Division von n durch 3 ist 2, daher können Sie n^3 - n = (n+1)* (n^2 - n + 1) schreiben, und wenn Sie durch 3 geteilt werden, ergibt der ursprüngliche Ausdruck den Rest von 0, dh geteilt durch 3.
   In beiden Fällen ist n^3 - n sowohl durch 2 als auch durch 3 und damit durch ihr Produkt 6 geteilt.

Daher haben wir bewiesen, dass die Zahl n^3 - n für jede ganze Zahl n durch 6 geteilt wird.

Zerlegung des Würfels der Zahl n

Betrachten wir die Differenz (k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k = k(k^2 + 3k + 2)

Unter der Annahme der Induktion ist k^3 - k durch 6 geteilt. Dann ist k(k^2 + 3k + 2) auch durch 6 teilbar, da das Produkt von zwei Zahlen, von denen eine durch 6 teilbar ist, auch durch 6 teilbar ist.

Daher haben wir bewiesen, dass, wenn die Aussage für eine Zahl k wahr ist, sie auch für die Zahl k+1 gilt. Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion gilt es für alle natürlichen Zahlen.

Also ist die Zahl n^3 - n immer durch 6 geteilt.

Zerlegung der Differenz n^3 - n

In der resultierenden Zersetzung sehen wir, dass n^3 - n als Produkt von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen dargestellt wird: n, n - 1 und n + 1. Bei dieser Zersetzung ist mindestens eine dieser Zahlen ein Vielfaches von 2 und die andere ein Vielfaches von 3.

Zwei Fälle sind möglich:

1. Wenn n gerade ist, ist es selbst ein Vielfaches von 2, dann sind die zweiten und dritten Multiplikatoren (n - 1) und (n + 1) jeweils ein Vielfaches von 1 und 3, und ihr Produkt ist immer ein Vielfaches von 6.
2. Wenn n ungerade ist, ist es selbst ein Vielfaches von 3, dann ist der zweite Multiplikator (n - 1) ein Vielfaches von 2, und sein Produkt mit (n + 1) ist auch ein Vielfaches von 6.

In beiden Fällen wird die Differenz von n^3 - n durch 6 geteilt, was nachgewiesen werden musste.

Nachweis der Division durch 6

Beachten Sie, dass das Produkt von zwei benachbarten Zahlen immer durch 2 geteilt wird. Das heißt, eine Zahl n ist entweder gerade oder ungerade.

• Wenn n gerade, dann kann es als dargestellt werden n = 2k, wo k - eine natürliche Zahl.
• Dann n^3 - n = (2k)^3 - 2k = 8k^3 - 2k = 2(4k^3 - k). Offensichtlich ist die Zahl 4k^3 - k ist eine ganze Zahl. Deshalb, n^3 - n geteilt durch 6.

• Wenn n das Ungerade ist, dann kann es als dargestellt werden n = 2k + 1, wo k - eine natürliche Zahl.
• Dann n^3 - n = (2k + 1)^3 - (2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - 2k - 1 = 8k^3 + 12k^2 + 4k. Betrachten Sie einen restlosen Ausdruck, wenn Sie durch 6: 8 dividiert werdenk^3 + 12k^2 + 4k = 2(4k^3 + 6k^2 + 2k). Offensichtlich ist die Zahl 4k^3 + 6k^2 + 2k ist eine ganze Zahl. Deshalb, n^3 - n geteilt durch 6.

Also für jede natürliche Zahl n, Anzahl n^3 - n geteilt durch 6.