Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden Seiten nicht. Wie kann man jedoch beweisen, dass die Basen des Trapezes tatsächlich parallel sind? In diesem Artikel werden wir uns einige Methoden ansehen, die Ihnen helfen, eine gegebene Aussage mathematisch zu beweisen.
Die erste Methode besteht darin, die Eigenschaft paralleler Linien zu verwenden. Wenn Sie wissen, dass Sie zwei parallele Geraden haben, können Sie diese Informationen verwenden, um die Parallelität der Basen des Trapezes zu beweisen. Um dies zu tun, genügt es zu zeigen, dass die Geraden, die die entsprechenden Eckpunkte des Trapezes verbinden, ebenfalls parallel sind. Wenn dies geschieht, sind die Basen des Trapezes tatsächlich parallel.
Die zweite Methode besteht darin, die Eigenschaft gleicher vorangehender Winkel zu verwenden. Wenn Sie wissen, dass die beiden vorangehenden Winkel im Trapez gleich zueinander sind, können Sie diese Aussage auch verwenden, um die Parallelität der Basen zu beweisen. In diesem Fall genügt es zu zeigen, dass zwei Paare von entgegengesetzten vorangegangenen Winkeln gleich zueinander sind. Wenn dies geschieht, sind die Basen des Trapezes parallel.
Was ist ein Trapez und seine charakteristischen Merkmale
Die Basis des Trapezes ist ein Paar paralleler Seiten. Eine der Basen wird normalerweise als groß und die andere als kleiner bezeichnet. Die Höhe des Trapezes ist ein Abschnitt, der die Basen verbindet und senkrecht zu ihnen steht.
Außerdem hat das Trapez zwei Seitenpaare, die sowohl gleich als auch ungleich sein können. Wenn die Seiten gleich sind, wird das Trapez als gleichbleibend bezeichnet, andernfalls als ungleichbeinig.
Das Trapez hat drei Ecken: zwei Hauptwinkel, die sich zwischen den Basen befinden, und zwei seitliche Winkel, die parallel zu den Seiten des Trapezes liegen. Die Summe der beiden Hauptwinkel beträgt immer 180 Grad.
Grundlegende Eigenschaften des Trapezes:
- Die Basen sind parallel;
- Die Seiten können sowohl gleich als auch ungleich sein;
- Die Grundwinkel sind gleich groß und in Summe gleich 180 Grad;
- Die Summe der entgegengesetzten Winkel entspricht ebenfalls 180 Grad;
- Die Höhe des Trapezes ist senkrecht zu beiden Basen;
- Die Summe der Seitenlängen ist immer größer als die Summe der Basenlängen.
Definition und Eigenschaften
Grundlegende Eigenschaften des Trapezes:
| 1. | Die Winkel an den Basen des Trapezes, die durch die parallelen Seiten tr1 und tr2 gebildet werden, sind einander gleich. |
| 2. | Die Summe der Winkel an den Basen des Trapezes beträgt 180 Grad. |
| 3. | Die Linien, die die Mitte der Seiten des Trapezes verbinden, sind parallel und entsprechen der Hälfte der Summe der Basen. |
| 4. | Die Höhe des Trapezes ist eine senkrechte Linie, die vom Schnittpunkt der Basen auf eine Gerade, die die Seite enthält, abgesenkt wird. |
| 5. | Die Fläche des Trapezes kann durch die Formel berechnet werden: S = ((tr1 + tr2) / 2) * h, wobei tr1 und tr2 die Basenlängen und h die Höhe des Trapezes sind. |
Aussagen zum Trapez
Genehmigung 1: Die Basen des Trapezes sind parallel.
Die Basen des Trapezes sind ein Paar parallele Seiten. Wenn die Seiten nicht parallel sind, ist es kein Trapez.
Aussage 2: Die entgegengesetzten Winkel des Trapezes sind gleich.
Da die Seiten des Trapezes parallel sind, sind die von diesen Seiten gebildeten Winkel entsprechend gleich (parallele Geraden erzeugen gleiche Winkel mit einer sich schneidenden Geraden).
| Bestätigung | Die Beschreibung |
|---|---|
| Genehmigung 1 | Die Basen des Trapezes sind parallel |
| Genehmigung 2 | Die entgegengesetzten Winkel des Trapezes sind gleich |
Der Satz über die Parallelität der Basen
Der Grundsatz besagt, dass im Trapez die Summe der Längen der Seiten gleich der Summe der Basenlängen ist, multipliziert mit der Mittellinie:
AB + CD = (AD + BC) · 2
Lassen Sie uns diese Aussage beweisen:
- Lassen Sie ABCD ein Trapez mit AB- und CD-Basen sein.
- Ziehen wir die Mittellinie EF, die die Mittelseiten von AD und BC verbindet. Dies kann getan werden, da die Mittelpunkte der Linien immer mit einer geraden Linie verbunden werden können.
- Da EF die Mittellinie ist, ist EF = (AD + BC) / 2.
- Wir bezeichnen den Schnittpunkt der Mittellinie EF mit dem Abschnitt AB als G.
- Somit sind AG und BG die Mittellinien in den Dreiecken AED bzw. BEC.
- Aus den Eigenschaften der mittleren Linien in Dreiecken ergibt sich AG = (AD + EF) / 2 und BG = (EF + BC) / 2.
- Addieren wir diese beiden Gleichungen: AG + BG = (AD + EF + EF + BC) / 2 = (AD + BC + 2EF) / 2 = (AD + BC) / 2 + EF.
- Beachten Sie, dass AG + BG die Summe der Seitenlängen des AB- und CD-Trapezes ist.
- Auf diese Weise erhalten wir, dass AB + CD = (AD + BC) / 2 + EF.
- Basierend auf der Gleichheit EF = (AD + BC) / 2 erhalten wir AB + CD = (AD + BC) / 2 + (AD + BC) / 2 = 2 * (AD + BC) / 2 = AD + BC.
- So haben wir bewiesen, dass die Summe der Seitenlängen im Trapez gleich der Summe der Basenlängen ist, multipliziert mit der Mittellinie: AB + CD = (AD + BC) · 2.
- Daraus folgt, dass die Basen des Trapezes AB und CD parallel sind.
So haben wir den Satz über die Parallelität der Basen im Trapez bewiesen. Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um verschiedene geometrische Fakten und Aufgaben nachzuweisen.
Formulierung
- Wählen Sie zwei nicht parallele Seiten des Trapezes aus und bezeichnen Sie sie als AB und CD.
- Zeichnen Sie die Diagonalen des Trapezes, indem Sie die Punkte B und C sowie die Punkte A und D verbinden.
- Beschriften Sie den Schnittpunkt der Diagonalen als O.
- Beweisen Sie, dass die Diagonalen gleich sind, dh OB = OC und OA = OD.
- Daher AB
