Die Kantorfunktion, auch als Kantorenkreis oder Kantorstufe bekannt, ist ein Beispiel für eine kontinuierliche Funktion, aber nirgendwo anders differenzierbar. Es wurde erstmals 1874 vom deutschen Mathematiker Georg Kantor eingeführt.
Beschreibung der Kantorfunktion
Die Kantorfunktion ist im Intervall definiert [0, 1] und hat folgendes Aussehen:
- Im Schnitt [0, 1/3] die Kantorfunktion ist 0.
- Im Schnitt [2/3, 1] die Kantorfunktion ist 1.
- Bei jedem nächsten Schritt wird jedes Segment in drei gleiche Teile geteilt. Der Wert der Kantorfunktion im Mittelabschnitt ist 1/2.
Die Kantorfunktion erstellt daher eine kontinuierliche Menge von Werten zwischen 0 und 1, die alle Zahlen enthält, die durch die dreifache Zerlegung der Zahl aus dem Intervall erhalten werden [0, 1].
Finden Sie den Wert der Kantorfunktion an einem bestimmten Punkt
Um den Wert der Kantorfunktion an einem bestimmten Punkt zu finden, müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:
- Wandeln Sie den angegebenen Punkt in eine dreifache Dezimalzahl um.
- Zerlegen Sie den dreifachen Bruch um die Summe der Potenz der Zahl 1/3.
- Zählen Sie den Wert der Kantorfunktion bei jedem Schritt der Zersetzung:
- Wenn der Grad der Zahl 1/3 in der Zersetzung größer oder gleich 1/3 ist, ist der Wert der Kantorfunktion 1.
- Wenn der Grad der Zahl 1/3 in der Zersetzung kleiner als 1/3 ist, ist der Wert der Kantorfunktion 0.
- Wenn der Grad der Zahl 1/3 in der Zersetzung 1/2 ist, ist der Wert der Kantorfunktion 1/2.
Ein Beispiel
Nehmen wir an, wir müssen den Wert der Kantorfunktion bei 0.3125 finden.
Wandeln wir diesen Punkt in eine dreifache Dezimalzahl um: 0.3125 = 1 * (1/3) + 0 * (1/9) + 0 * (1/27) + 2 * (1/81) + 2 * (1/243).
Jetzt berechnen wir den Wert der Kantorfunktion bei jedem Schritt der Zersetzung:
Daher ist der Wert der Kantorfunktion bei 0.3125 0.
Schlußfolgerung
Jetzt wissen Sie, wie Sie den Wert der Kantorfunktion an einem bestimmten Punkt finden. Dazu müssen Sie den Punkt in eine dreifache Dezimalzahl konvertieren und den Wert der Kantorfunktion bei jedem Schritt der Zersetzung berechnen.
Die Kantorfunktion hat viele interessante Eigenschaften und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Informatik.
Was ist eine Kantorfunktion und wie wird sie berechnet
Diese Funktion ist im Intervall definiert [0, 1] und es wird nach dem Kantor benannt, weil es seine Idee zeigt, die Abschnitte in drei gleiche Unterschnitte zu teilen und das mittlere Drittel in jedem Unterschnitt zu entfernen.
Die Berechnung des Werts der Kantorfunktion an einem gegebenen Punkt kann folgendermaßen durchgeführt werden:
- Stellen Sie sich die ursprüngliche Zahl im dreifachen Zahlensystem vor. Zum Beispiel wird die Zahl 0,5 als 0,111111 dargestellt.
- Entfernen Sie alle Ziffern 1 aus dem dreifachen Eintrag der Zahl. Das Ergebnis ist eine neue Zahl im dreifachen Zahlensystem. Zum Beispiel ergibt sich für die Zahl 0,5 die Zahl 0,000000.
- Übersetzen Sie eine neue Zahl aus dem dreifachen Zahlensystem in das Dezimalsystem. Zum Beispiel für die Zahl 0,000000. es ergibt sich die Zahl 0.
Die resultierende Zahl ist der Wert der Kantorfunktion an einem bestimmten Punkt.
Die Kantorfunktion offenbart daher interessante und ungewöhnliche Eigenschaften von Zahlen und ermöglicht es Ihnen, ihre einzigartigen Eigenschaften im Kontext der mathematischen Analyse und der Messtheorie zu untersuchen.
