Bei dieser Aufgabe muss der Funktionswertbereich y(x) bei den angegebenen Argumentwerten definiert werden. Da wir wissen, dass die Funktion durch eine quadratische Gleichung der Form y=ax^2+bx+c angegeben wird, wobei a, b und c konstante Koeffizienten sind, können wir die Funktion y(x)=x^2-6x+13 analysieren. Die Antwort auf die Frage, welche Werte eine Funktion innerhalb der angegebenen Grenzen annehmen kann, kann gefunden werden, indem die Eckpunkte der Parabel berechnet werden, die das Diagramm dieser Funktion ist.
Zuerst finden wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. Die Formel zur Berechnung der Vertex-Abszisse ist wie folgt angegeben: x=-b/2a. In unserem Fall a=1, b=-6. Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir ein x=-(-6)/(2*1)=-(-6)/2=6/2=3. Jetzt finden wir die Stützpunktordinate, indem wir den resultierenden Wert x in die Gleichung der Parabel ersetzen: y=3^2-6*3+13=9-18+13=4. Der Scheitelpunkt der Parabel hat also Koordinaten (3, 4).
Was ist der Wertebereich einer Funktion?
Der Wertebereich einer Funktion stellt die Menge aller möglichen Werte dar, die eine Funktion annehmen kann. Mit anderen Worten, dies ist der Wertebereich, der für eine bestimmte Funktion möglich ist, wenn die Werte für ihre Variablen oder Argumente angegeben werden.
Für eine gegebene Funktion, deren Gleichung y = f(x) hat, ist der Wertebereich der Funktion eine Menge von y-Werten, die durch Ersetzen verschiedener Werte für die Variable x abgerufen werden können. Sie bestimmt, welche Werte eine Funktion an ihrer "Ausgabe" annehmen kann, wenn sie ein bestimmtes Eingabeargument angegeben hat.
Ein Wertebereich kann durch Zahlen, Objekte oder andere Werte dargestellt werden, die eine Funktion annehmen kann. Beispielsweise kann für die Funktion y = x^2 - 6x + 13 der Wertebereich eine Menge aller reellen Zahlen sein, da jede reelle Zahl aus der Berechnung der Funktion mit unterschiedlichen Werten für die Variable x im angegebenen Bereich von 2 bis 7 abgeleitet werden kann.
Der Wertebereich einer Funktion ist beim Studieren und Analysieren von Funktionen wichtig, da sie bestimmen können, welche Werte erreicht werden können und wie begrenzt oder unbegrenzt die Funktion in ihrem Bereich ist.
| Die Beschreibung | Ein Beispiel |
|---|---|
| Funktion | y = x^2 - 6x + 13 |
| Wertebereich | Alle gültigen Zahlen |
| Werte der Variablen x | 2 bis 7 |
Funktionswertbereich: Definition und Beispiele
Bei der Analyse von Funktionen definieren wir normalerweise einen Wertebereich, um die Änderung einer Funktion zu verstehen, ihr Verhalten zu untersuchen und dieses Wissen in anderen mathematischen Operationen oder Anwendungen zu verwenden.
Betrachten wir ein Beispiel für die Funktion y = x^2 - 6x + 13, wobei x zu einem Intervall von 2 bis 7 gehört.
Um den Wertebereich dieser Funktion zu finden, können wir die verschiedenen x-Werte in diesem Intervall betrachten:
- Bei x = 2: y = 2^2 - 6 * 2 + 13 = 4 - 12 + 13 = 5
- Bei x = 3: y = 3^2 - 6 * 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4
- Bei x = 4: y = 4^2 - 6 * 4 + 13 = 16 - 24 + 13 = 5
- Bei x = 5: y = 5^2 - 6 * 5 + 13 = 25 - 30 + 13 = 8
- Bei x = 6: y = 6^2 - 6 * 6 + 13 = 36 - 36 + 13 = 13
- Bei x = 7: y = 7^2 - 6 * 7 + 13 = 49 - 42 + 13 = 20
Daher besteht der Wertebereich der Funktion y = x^2 - 6x + 13 bei x von 2 bis 7 aus einer Reihe von Werten .
Die Aufgabe, den Wertebereich einer Funktion zu finden
Um den Wertebereich einer Funktion zu finden, müssen Sie alle möglichen Werte finden, die die Funktion f(x) bei den angegebenen Werten von x annehmen kann.
Betrachten Sie zunächst das Diagramm der Funktion f(x). Erstellen Sie dazu eine Wertetabelle:
| x | f(x) |
|---|---|
| 2 | 9 |
| 3 | 10 |
| 4 | 9 |
| 5 | 4 |
| 6 | -5 |
| 7 | -16 |
Betrachten Sie nun die resultierenden Werte und wählen Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion f(x) aus.
Der Mindestwert der Funktion f(x) ist -16, bei x = 7.
Der maximale Wert der Funktion f(x) ist 10, bei x = 3.
Somit liegt der Wertebereich der Funktion f(x) bei x zwischen 2 und 7 zwischen -16 und 10.
Die Standardform der Funktionsgleichung
Die Standardform einer Funktionsgleichung ist eine Gleichung, bei der eine Funktion als Polynom von Potenz zwei ausgedrückt wird. Die allgemeine Ansicht der Standardform der Funktionsgleichung ist wie folgt:
y = ax^2 + bx + c
- y - Funktionswert;
- x - unabhängige Variable (Funktionsargument);
- a, b und c - Koeffizienten, die die Form und Position des Funktionsdiagramms bestimmen.
Koeffizient a ist verantwortlich für die Ausbuchtung der Funktion (die Richtung der Offenheit der Diagrammzweige). Wenn a > 0, dann wird der Graph der Funktion nach oben zeigen und die Funktion wird ein Minimum haben. Wenn a < 0, dann wird der Graph der Funktion nach unten zeigen und die Funktion wird das Maximum haben.
Koeffizient b definiert die Verschiebung des Funktionsdiagramms entlang der Abszissenachse (horizontale Position des Diagramms). Positiver Wert b verschiebt das Diagramm nach links, der negative Wert nach rechts.
Koeffizient c definiert die Verschiebung des Funktionsdiagramms entlang der Ordinatenachse (vertikale Position des Diagramms). Positiver Wert c verschiebt das Diagramm nach oben, der negative Wert nach unten.
Um den Wertebereich einer Funktion zu definieren, müssen Sie die Werte des Koeffizienten berücksichtigen a. Wenn a > 0 dann besteht der Wertebereich der Funktion aus allen reellen Zahlen, die größer oder gleich dem Wert sind c, da die Funktion einen minimalen Wert hat. Wenn a < 0 dann besteht der Wertebereich der Funktion aus allen reellen Zahlen, die kleiner oder gleich dem Wert sind c, da die Funktion den maximalen Wert hat.
Berechnen des Bereichs von Funktionswerten
Dazu können Sie eine Tabelle erstellen, indem Sie die x-Werte ersetzen und die entsprechenden y-Werte berechnen:
| ch | bei |
|---|---|
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 5 |
| 5 | 8 |
| 6 | 13 |
| 7 | 20 |
Somit sind die Werte der Funktion y = x2 - 6x + 13 bei x von 2 bis 7 die Zahlen: 4, 5, 8, 13, 20.
Funktionswertbereich bei der Funktion f(x) = x^2 + 6x + 13
Um den Wertebereich einer Funktion zu finden, müssen Sie den minimalen Wert der Funktion finden. Es ist ersichtlich, dass die Zweige der Funktion nach oben zeigen, daher gibt es keinen minimalen Wert.
Daher ist der Wertebereich der Funktion f(x) = x^2 + 6x + 13 die Menge aller positiven Zahlen und Null: [0, +∞).
Das Diagramm der Funktion und ihr Wertebereich
Die Formel zur Berechnung der Eckpunktkoordinaten einer Parabel lautet wie folgt:
| x0 = -b / (2a) | y0 = f(x0) |
Wobei die Koeffizienten a, b, c in der Funktionsgleichung y = ax^2 + bx + c gleich sind:
| a = 1 | b = -6 | c = 13 |
Wenn wir die Werte der Koeffizienten in die Formel einfügen, erhalten wir:
| x0 = -(-6) / (2 * 1) = 3 | y0 = f(3) = 3^2 - 6 * 3 + 13 = 4 |
Der Scheitelpunkt der Parabel hat also Koordinaten (3, 4). Da der Koeffizient a positiv ist, wird die Parabel nach oben zeigen.
Um den Wertebereich einer Funktion zu definieren, muss die Richtung der Funktion berücksichtigt werden. Da die Parabel nach oben zeigt, hat sie keine untere Grenze und der Wertebereich der Funktion sind alle positiven Werte auf der y-Achse, beginnend am Scheitelpunkt der Parabel (4, +∞).
- Die Funktion ist eine Parabel der Form y = ax^2 + bx + c, wobei a = 1, b = -6 und c = 13 ist. Der Wert von a ist positiv, was bedeutet, dass die Parabel nach oben zeigt.
- Die Funktionsdiskriminante ist D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(13) = 36 - 52 = -16. Da die Diskriminanz negativ ist, hat die Funktion keine Wurzeln im Intervall [2, 7].
- Der Scheitelpunkt einer Parabel kann durch die Formel x = -b / (2a) gefunden werden, wobei in diesem Fall x = -(-6) / (2 * 1) = 3. Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich also am Punkt (3, 4).
- Da a = 1 ist, bedeutet dies, dass die Parabel vertikal um 4 Einheiten nach unten verschoben und auch horizontal um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird.
- Der Wertebereich der Funktion y = x^2 - 6x + 13 im Intervall [2, 7] entspricht der Menge aller y-Koordinaten der Parabelpunkte in diesem Intervall.
Daher ist der Wertebereich der Funktion y = x^2 - 6x + 13 im Intervall [2, 7] enthält alle Werte, die unterhalb oder auf der Scheitelpunkt-Ebene der Parabel liegen, dh y
