Das Dreieck ist eine der grundlegendsten Formen in der Geometrie. Das Studium seiner Eigenschaften und Parameter ist für verschiedene Aufgaben von großer Bedeutung. Einer der wichtigsten Parameter eines Dreiecks ist seine Fläche, die durch die verschiedenen Eigenschaften dieser Figur ausgedrückt werden kann.
Eine Formel, die verwendet wird, um die Fläche eines Dreiecks zu finden, ist eine Formel, die auf dem Radius der eingegebenen und beschriebenen Kreise basiert. Hier ist diese Formel:
Hier ist S die Fläche des Dreiecks, rin - der Radius des eingeschriebenen Kreises, rüber - der Radius des beschriebenen Kreises. Wie aus der Formel ersichtlich ist, müssen Sie die Radien der eingegebenen und beschriebenen Kreise kennen, um die Fläche eines Dreiecks zu finden.
Mit dieser Formel können Sie die Fläche eines Dreiecks finden, ohne zusätzliche Messungen durchzuführen und ohne auf das Geron-Theorem zurückzugreifen. Diese Formel ist eine Möglichkeit, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen und kann bei der Lösung verschiedener geometrischer Probleme nützlich sein.
Wir untersuchen die Formel, um die Fläche eines Dreiecks durch den Radius des eingeschriebenen und beschriebenen Kreises zu finden
Um die Fläche eines Dreiecks mit dem Radius der eingegebenen und beschriebenen Kreise zu berechnen, müssen Sie die folgende Formel kennen:
| Formel | Die Fläche des Dreiecks (S) |
|---|---|
| S = (r1 * r2 * sin(α)) / 2 |
- r1 - radius des eingeschriebenen Kreises
- r2 - der Radius des beschriebenen Kreises
- α ist der Winkel zwischen der Seite des Dreiecks und dem Durchmesser des beschriebenen Kreises.
Diese Formel basiert auf dem Theorem über die Fläche eines Dreiecks durch die Radien der eingegebenen und beschriebenen Kreise. Es ermöglicht Ihnen, die Fläche eines Dreiecks anhand der bekannten Radien der Kreise und des Winkels zu finden, der durch die Seite des Dreiecks und den Durchmesser des beschriebenen Kreises gebildet wird.
Die Verwendung dieser Formel kann bei der Lösung verschiedener praktischer Probleme im Zusammenhang mit Dreiecken hilfreich sein. Zum Beispiel, wenn Sie ein Dreieck an bestimmten Radien von Kreisen und Winkel zeichnen.
Das Studium der Formel, um die Fläche eines Dreiecks durch den Radius eines eingeschriebenen und beschriebenen Kreises zu finden, ermöglicht es, die Prinzipien der Geometrie besser zu verstehen und komplexe Probleme zu lösen, die eine gründliche Analyse und Anwendung verschiedener mathematischer Werkzeuge erfordern.
Definieren und Eigenschaften von eingeschriebenen und beschriebenen Kreisen
Der beschriebene Kreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Ecken eines Dreiecks verläuft. Der Mittelpunkt des beschriebenen Kreises liegt auf der senkrechten Bisektrix eines der Winkel des Dreiecks, und sein Radius ist der Hälfte der Länge einer der Seiten des Dreiecks gleich.
Der eingeschriebene Kreis und der beschriebene Kreis haben eine Reihe von Eigenschaften:
- Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist die Höhe des Dreiecks, das auf eine Seite gesenkt wird.
- Der Radius des beschriebenen Kreises ist gleich dem Durchmesser des eingegebenen Kreises.
- Die Längen der Linien, die von den Eckpunkten des Dreiecks bis zu den Berührungspunkten mit dem eingeschriebenen Kreis gezogen werden, sind gleich.
- Die Winkel zwischen den Seiten des Dreiecks und den Tangenten, die von seinen Eckpunkten zum eingeschriebenen Kreis gezogen werden, sind gleich.
- Die Länge der Seiten des Dreiecks, der Radius des eingegebenen und beschriebenen Kreises ist mit der Eigenschaft der Fläche des Dreiecks verbunden und entspricht dem doppelten Quadrat des Dreiecks: S = (a * b * c) / (4R), wobei a, b und c die Längen der Seiten des Dreiecks sind, S die Fläche des Dreiecks ist, R der Radius des beschriebenen Kreises ist.
Beweis der Formel durch den Radius des eingeschriebenen Kreises
Die Formel zum Finden der Fläche eines Dreiecks durch den Radius eines eingeschriebenen Kreises ist bekannt und kann unter Verwendung geometrischer Überlegungen nachgewiesen werden.
Angenommen, wir haben ein Dreieck mit den Seiten a, b und c und dem Radius r des eingeschriebenen Kreises. Wir müssen seine Fläche finden.
Beachten Sie, dass der Radius des eingeschriebenen Kreises senkrecht zu den Seiten des Dreiecks ist, das von dem Berührungspunkt des Kreises mit jeder Seite gezogen wird. So können wir die Höhen von den Ecken des Dreiecks bis in die Mitte der Seiten ziehen und sie werden sich in der Mitte des eingeschriebenen Kreises schneiden.
Entsprechend der Radius-Eigenschaft des eingegebenen Kreises sind die Abstände vom Mittelpunkt des Kreises zu den Berührungspunkten gleich und gleich der Strecke r.
Auf diese Weise können wir das Dreieck in drei kleine Dreiecke aufteilen, wobei jedes rechteckig ist. Die Flächen dieser Dreiecke entsprechen der Hälfte des Basisprodukts pro Höhe.
Sei ha, hb und hc - die Höhen des Dreiecks, die jeweils durch jede der Seiten a, b und c verlaufen.
Dann werden die Flächen der kleinen Dreiecke sein:
Die Gesamtfläche des Dreiecks ist gleich:
Ersetzen wir die Werte der Dreiecksbasen und Höhen:
Gemäß der Geron-Formel kann die Fläche eines Dreiecks durch die Längen seiner Seiten ausgedrückt werden:
Stotal = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))
wobei p der Halbwert des Dreiecks ist:
So haben wir:
Stotal = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))
Wenn wir diesen Ausdruck mit dem vorherigen vergleichen, beachten Sie, dass:
Stotal = 0.5 * a * ha + 0.5 * b * hb + 0.5 * c * hc = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))
Als nächstes beachten Sie die folgenden Übereinstimmungen:
0.5 * a * ha = p * r
0.5 * b * hb = p * r
0.5 * c * hc = p * r
Stotal = p * r + p * r + p * r = 3 * p * r
Unter Verwendung der Übereinstimmung p = 0.5 * (a + b + c) erhalten wir:
Stotal = 3 * 0.5 * (a + b + c) * r = 1.5 * (a + b + c) * r
Auf diese Weise erhalten wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks durch den Radius des eingeschriebenen Kreises:
S = 1.5 * (a + b + c) * r
Beweis der Formel durch den Radius des beschriebenen Kreises
Betrachten Sie zunächst das Dreieck, das in der Nähe des Kreises beschrieben wird. Nehmen wir die Mitte senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks und bezeichnen seine Länge als a. Geben Sie auch den Radius des beschriebenen Kreises als ein R.
Nach dem Satz des Pythagoras können wir Folgendes schreiben:
| a 2 | + | (R | + | R) | 2 | = | 2R | 2 |
Indem wir diese Formel vereinfachen, erhalten wir:
| a 2 | + | 2R | 2 | = | 4R | 2 |
Von hier aus können wir es ausdrücken a 2 abhängig von R:
| a 2 | = | 4R | 2 | - | 2R | 2 |
Betrachten wir nun ein Dreieck, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Sei die Seite des Dreiecks gleich b. Mithilfe der Tangentialeigenschaft erhalten Sie Folgendes:
| b 2 | = | 4R | (R | - | a) |
Klammern öffnen und Wert ersetzen a, erhalten:
| b 2 | = | 4R | R | - | 4R | a | + | 4R | 2 |
| b 2 | = | 4R | 2 | + | 4R | a | - | 4R | 2 |
| b 2 | = | 4R | a |
Daher haben wir bewiesen, dass die Fläche eines Dreiecks durch den Radius des beschriebenen Kreises und die Länge der Seite des Dreiecks mit der folgenden Formel ausgedrückt werden kann:
| S | = | ½ | b | (4R | a) | = | 2R | b | a |
Beispiele für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks mithilfe einer Formel
Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks mithilfe einer Formel, die auf dem Radius des eingegebenen Kreises und dem Radius des beschriebenen Kreises basiert.
- Beispiel 1: Der Radius des eingegebenen Kreises (r) = 5 cm Der Radius des beschriebenen Kreises (R) = 7 cm Wenn wir die Werte in die Formel S = (r * R * N) / 2 einfügen, erhalten wir: S = (5 * 7 * N) / 2 = 17,5 * N cm2 Die Fläche des Dreiecks beträgt ungefähr 54,98 cm2.
- Beispiel 2: Der Radius des eingeschriebenen Kreises (r) = 8 cm Der Radius des beschriebenen Kreises (R) = 10 cm Wenn wir die Werte in die Formel S = (r * R * N) / 2 setzen, erhalten wir: S = (8 * 10 * N) / 2 = 40 * N cm2 Die Fläche des Dreiecks beträgt ungefähr 125,66 cm2.
- Beispiel 3: Der Radius des eingeschriebenen Kreises (r) = 3.5 cm Der Radius des beschriebenen Kreises (R) = 6 cm Wenn wir die Werte in die Formel S = (r * R * N) / 2 einfügen, erhalten wir: S = (3.5 * 6 * N) / 2 ≈ 10.99 * N cm2 Die Fläche des Dreiecks beträgt ungefähr 34.54 cm2.
Daher ermöglicht die Formel eine einfache und genaue Berechnung der Fläche eines Dreiecks bei bekannten Radiuswerten von eingeschriebenen und beschriebenen Kreisen.
Spezielle Anwendungsfälle der Formel
Einer der besonderen Anwendungsfälle der Formel ist das Finden der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten und Winkel gleich. In diesem Fall ist der Radius des eingegebenen und beschriebenen Kreises ebenfalls gleich und wird als R bezeichnet. Die Formel zum Finden der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks nimmt die Form an:
Ein weiterer besonderer Fall ist das Finden der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, bei dem der rechte Winkel der Hypotenuse entgegengesetzt ist. In diesem Fall wird der Radius des eingegebenen und beschriebenen Kreises jeweils als r und R bezeichnet. Die Formel für die Suche nach der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks lautet wie folgt:
S = r * (a + b + c) / 2
wobei a und b die Dreiecksketten sind, c die Hypotenuse.
Daher ist die Formel, die Fläche eines Dreiecks durch den Radius eines eingeschriebenen und beschriebenen Kreises zu finden, universell und kann auf verschiedene Arten von Dreiecken angewendet werden, einschließlich gleichseitiger und rechtwinkliger Dreiecke.
