Jeder, der Mathematik studierte, stieß auf den Begriff des Vektors. Ein Vektor ist ein gerichteter Schnitt, der eine Länge und Richtung hat. Eine der wichtigsten Fragen, die beim Arbeiten mit Vektoren auftreten, besteht darin, ihre Länge zu bestimmen. Auf den ersten Blick mag diese Aufgabe schwierig erscheinen, aber in Wirklichkeit ist alles viel einfacher, als es scheinen mag.
Die Länge eines Vektors kann mit einer Formel berechnet werden, die als Vektorlängenformel oder Vektormodulformel bezeichnet wird. Es basiert auf den uns bekannten Phrasen des Pythagoras und der Kosinus.
Die Vektorlängenformel lautet wie folgt:
|AB| = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2),
wobei A der Anfang des Vektors ist, B das Ende des Vektors ist, x, y, z die Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte des Vektors sind.
Betrachten wir ein Beispiel, um die Verwendung dieser Formel zu veranschaulichen.
Was ist ein Vektor und eine Linie: Grundlegende Konzepte
Der Vektor wird durch einen Pfeil über dem Buchstaben gekennzeichnet, z. B., AB. Der Anfang des Pfeils entspricht dem Anfangspunkt des Vektors und das Ende des Pfeils dem Endpunkt. Ein Vektor kann mithilfe seiner Komponenten in Koordinatenform dargestellt werden - die Koordinaten für jede Achse (x, y und z, wenn ein 3D-Raum vorhanden ist).
Segment - dies ist der Teil einer geraden Linie zwischen zwei Punkten. Es besteht aus allen Punkten, die zwischen dem Start- und Endpunkt liegen, sowie aus diesen beiden Punkten.
Eine Linie kann als Vektor dargestellt werden, in dem die Richtung vom Startpunkt zum Endpunkt und die Länge als Abstand zwischen diesen beiden Punkten angegeben wird.
Die Hauptunterschiede zwischen einem Vektor und einem Segment bestehen in der Art und Weise, wie sie ihre Länge und Richtung festlegen. Der Vektor wird durch die numerischen Werte seiner Komponenten oder Koordinaten angegeben, und die Länge des Vektors wird durch eine spezielle Formel bestimmt. Ein Segment wird durch zwei Punkte definiert und seine Länge wird als Abstand zwischen diesen Punkten berechnet.
Definitionen und Unterschiede
Vektor-Konzept:
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sich durch Größe (Modul) und Richtung auszeichnet. Der Vektor wird durch einen Pfeil gekennzeichnet, der die Richtung und Länge angibt.
Länge (Modul) des Vektors:
Die Länge eines Vektors ist der Abstand vom Anfang eines Pfeils (Ursprung) bis zum Ende eines Pfeils. Wird als | bezeichneta|, |b| oder |c|.
Segment (Segment) eines Vektors:
Ein Vektorsegment ist eine Einheit der Größe eines Vektors, die ein unabhängiges mathematisches Objekt ist. Das Segment eines Vektors hat seine Länge, die auch als Vektormodul bezeichnet wird.
Unterschiede:
Ein Vektorabschnitt ist nur ein Teil eines Vektors und hat im Gegensatz zu einem vollständigen Vektor keine Richtung. Es ist nur eine numerische Größe, die die Länge eines Fragments eines Vektors angibt.
So finden Sie die Länge eines Segments durch einen Vektor: Formel
Die Länge eines Abschnitts im dreidimensionalen Raum kann mithilfe der Vektoralgebra gefunden werden. Um dies zu tun, müssen Sie die Koordinaten des Anfangs und Endes des Segments kennen.
Die Formel zum Finden der Länge eines Segments (eines Vektormoduls) lautet wie folgt:
|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),
wobei (x1, y1, z1) die Koordinaten des Anfangs der Linie sind, (x2, y2, z2) die Koordinaten des Endes der Linie sind.
Die AB-Linie wurde mit den Koordinaten des Anfangs (2, 4, -1) und des Endes (5, 8, 3) angegeben. Finden wir seine Länge:
|AB| = √((5 - 2)^2 + (8 - 4)^2 + (3 - (-1))^2) = √(3^2 + 4^2 + 4^2) = √(9 + 16 + 16) = √41 ≈ 6.4.
Die Länge des AB-Abschnitts beträgt also ungefähr 6.4.
Das Vektorprodukt und seine Beziehung zur Länge des Abschnitts
Die Beziehung eines Vektorprodukts mit der Länge des Segments manifestiert sich im Folgenden. Lassen Sie zwei Vektoren gegeben werden a und b, die den Koordinaten der Enden der Linie entsprechen, dh dem Vektor a entspricht dem Anfang der Linie und dem Vektor b - sein Ende. Dann das Vektorprodukt c = a × b ist senkrecht zur Ebene, in der sich das Segment befindet, und seine Norm entspricht der Fläche des durch Vektoren gebildeten Parallelogramms a und b. Wenn man bedenkt, dass a und b sind Vektoren, die in einem rechteckigen Koordinatensystem angegeben sind, können Sie eine Formel verwenden, um die Fläche eines Parallelogramms zu finden, nämlich
