Parallelogramm - dies ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Zuerst betrachten wir ein Rechteck, das ein Sonderfall eines Parallelogramms ist. In einem Rechteck sind alle Ecken gerade und alle Seiten sind paarweise gleich. Diese Eigenschaft ermöglicht es Ihnen, die Höhe eines Rechtecks zu finden, indem Sie die Länge einer seiner Seiten kennen.
Um die Höhe eines Rechtecks zu finden, müssen wir die bekannte Formel für die Fläche des Rechtecks verwenden. Die Fläche des Rechtecks S ist gleich dem Produkt der Länge der Seite a mit der Länge der Seite b. Daher ist S = a * b.
Höhe des Rechtecks - dies ist der Abstand zwischen den gegenüberliegenden Seiten. Betrachten wir ein Rechteck, dessen Seiten a = 6 cm und b = 4 cm sind. Wenn wir die Fläche eines Rechtecks kennen, das S = a * b = 6 cm * 4 cm = 24 cm2 ist, können wir die Höhe finden. Um dies zu tun, müssen Sie die Fläche durch die Länge einer Seite teilen: h = S / a = 24 cm2 / 6 cm = 4 cm.
Betrachten wir nun den allgemeinen Fall eines Parallelogramms, bei dem nicht alle Winkel gerade sind und die Seiten unterschiedlich lang sein können. Wie finde ich die Höhe in einem solchen Parallelogramm? Unsere bisher erwiesene Behauptung über die Fläche eines Rechtecks kann auch in diesem Fall helfen. Wenn wir die Fläche eines Parallelogramms und die Länge einer seiner Seiten kennen, können wir die Höhe anhand der Formel h = S / a finden. Es ist wichtig, dass Seite a senkrecht zur Höhe sein muss.
Definition eines Parallelogramms
Ein Parallelogramm kann als Sonderfall eines Rechtecks dargestellt werden, wenn alle Ecken nicht gerade sind. Gleichzeitig ist ein Parallelogramm ein Sonderfall eines Rautengrads, wenn alle seine Seiten in der Länge gleich sind.
- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und in der Länge gleich
- Entgegengesetzte Winkel sind gleich
- Die Summe der Winkel eines Parallelogramms beträgt 360 Grad
- Die Diagonalen des Parallelogramms werden in zwei Hälften geteilt und schneiden sich an dem Punkt, der die Mitte der Seiten verbindet
Anhand dieser Eigenschaften können Sie verschiedene Aufgaben im Zusammenhang mit Parallelogrammen lösen, einschließlich der Höhe an bestimmten Seiten oder Winkeln.
Bekannte Höhe und benachbarte Seiten
Wenn in einem Parallelogramm die Höhe, die zu einer Seite gezogen wurde, und die Längen von zwei benachbarten Seiten bekannt sind, können Sie die Höhe des Parallelogramms leicht finden. Verwenden Sie dazu die Formel, um die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen:
Fläche = Basis * Höhe
In diesem Fall ist die Basis des Parallelogramms gleich einer der benachbarten Seiten und die Höhe ist eine bekannte Höhe. So kann die folgende Gleichung geschrieben werden:
Fläche = Seite * Höhe
Aus dieser Gleichung kann die Höhe ausgedrückt werden:
Höhe = Fläche / Seite
Um also die Höhe eines Parallelogramms zu finden, wenn die Höhe zu einer der Seiten und die Länge der beiden benachbarten Seiten bekannt ist, ist es notwendig, die Fläche in eine der benachbarten Seiten zu teilen.
Bekannte Seiten und Diagonalen
Die Höhe eines Parallelogramms kann berechnet werden, indem man die Länge seiner Seiten und Diagonalen kennt. Wenn wir solche Informationen haben, erstellen wir eine Tabelle:
| Bekannte Seiten und Diagonalen | Formel zur Berechnung der Höhe |
|---|---|
| Basislänge \(a\), Seitenlänge \(b\) | \(H = \frac\), wobei \(Fläche = a \cdot b\) |
| Die Länge der Basis \(a\), die Länge der anderen Seite \(c\) | \(H = \frac\), wobei \(Fläche = a \cdot c\) |
| Die Diagonalen \(d_1\) und \(d_2\) | \(H = \frac\), wobei \(Fläche = \frac \cdot d_1 \cdot d_2\) |
| Die Länge der Basen \(a\) und \(b\), die Länge einer Diagonalen \(d_1\) | \(H = \frac\), wobei \(Fläche = a \cdot b\) |
| Die Länge einer seitlichen Kante \(b\), die Länge einer Diagonalen \(d_1\) | \(H = \frac\), wobei \(Fläche = b \cdot H\) |
Mit diesen Formeln können Sie die Höhe eines Parallelogramms berechnen, indem Sie Informationen über die Längen seiner Seiten und Diagonalen erhalten. Dies ist nützlich bei der Lösung geometrischer Probleme und beim Entwerfen von Formen.
Bekannte geometrische Parameter
Die folgenden geometrischen Parameter sind im Parallelogramm bekannt:
1. Die Seiten eines Parallelogramms sind die Linien, die die gegenüberliegenden Scheitelpunkte verbinden. Sie sind mit den Buchstaben a und b gekennzeichnet.
2. Die Winkel eines Parallelogramms sind die Winkel, die von den Seiten gebildet werden. Die inneren Winkel des Parallelogramms sind einander gleich. Werden mit dem Buchstaben α bezeichnet.
3. Die Diagonalen eines Parallelogramms sind die Segmente, die die gegenüberliegenden Eckpunkte verbinden. Sie sind mit den Buchstaben p und q gekennzeichnet.
4. Die Höhe eines Parallelogramms ist eine senkrechte Linie, die von der Spitze des Parallelogramms zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird. Wird mit dem Buchstaben h bezeichnet.
Bekannte geometrische Parameter ermöglichen es Ihnen, verschiedene Eigenschaften eines Parallelogramms zu finden, einschließlich seiner Höhe.
Die Beziehung der Höhe eines Parallelogramms mit den Radien der eingegebenen und beschriebenen Kreise
Die Höhe eines Parallelogramms ist eine Linie, die vom Scheitelpunkt des Parallelogramms auf die gegenüberliegende Seite gesenkt wird. Es ist senkrecht zu dieser Seite und bildet einen rechten Winkel.
Es stellt sich heraus, dass die Höhe des Parallelogramms gleich dem Unterschied der Radien seiner eingeschriebenen und beschriebenen Kreise ist:
h = R - r
wo h - höhe des Parallelogramms, R - der Radius des beschriebenen Kreises, r - der Radius des eingeschriebenen Kreises.
Wenn wir also die Radien der eingeschriebenen und beschriebenen Kreise kennen, können wir die Höhe des Parallelogramms finden. Wenn Sie die Höhe und einen der Radien kennen, können Sie einen anderen Radius finden.
Diese Eigenschaft kann bei Problemen mit Parallelogrammen nützlich sein, z. B. beim Berechnen einer Fläche oder beim Finden anderer Parameter.
Beachten Sie, dass diese Formel nur für Parallelogramme gilt, in denen die Kreise auf Diagonalen geschrieben und beschrieben sind.
Geometrischer Formelnachweis für die Höhe
Die Höhe eines Parallelogramms wird als eine Linie bezeichnet, die vom Scheitelpunkt eines Parallelogramms zu einer geraden Linie gezogen wird, die parallel zur gegenüberliegenden Seite ist und sie enthält.
Stellen wir uns das Parallelogramm ABCD vor, wobei AB und CD parallele Seiten sind und AD und BC Höhen sind.
Um die Formel für die Höhe zu beweisen, nehmen wir das rechteckige Dreieck AOH, wobei AO die Basis der Höhe ist und OH die Höhe ist, die vom Punkt O auf die Seite von AD weggelassen wird.
Aus dem AOH-Dreieck können wir das Verhältnis zwischen den Seiten und der Höhe aufzeichnen:
AO² = (AD² - 2*AD*DH + DH²) + OH²
AO² = AD² + DH² - 2*AD*DH + OH²
Da DH = BC (durch die Eigenschaft des Parallelogramms) geschrieben werden kann:
AO² = AD² + BC² - 2*AD*BC + OH²
Auch aus der Parallelität der Seiten AB und CD folgt, dass AD = BC.
AO² = AD² + AD² - 2*AD*AD + OH²
AO² = 2*AD² - 2*AD² + OH²
Daher ist die Höhe des Parallelogramms gleich der Basis und hängt nicht von den Diagonallängen ab.
Zusammenfassung
Um die Höhe in einem Parallelogramm zu finden, können Sie, wenn Sie die Länge der Seiten kennen, den Satz des Pythagoras oder die Eigenschaft des Parallelogramms verwenden.
Mit dem Satz des Pythagoras können Sie die Höhe berechnen, indem Sie die Länge der beiden Seiten eines Parallelogramms und die Länge seiner Diagonalen kennen. Dazu müssen Sie die Quadrate der Seitenlängen im Parallelogramm von der diagonalen Länge nach dem Satz des Pythagoras subtrahieren und die Wurzel aus dem resultierenden Wert extrahieren.
Mithilfe der Parallelogrammeigenschaft können Sie die Höhe ermitteln, indem Sie die Länge der Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen. Sie müssen die Länge einer Seite mit dem Sinus des Winkels zwischen dieser Seite und der Höhe multiplizieren.
In jedem Fall ist es notwendig, die Länge der Seiten und / oder Diagonalen des Parallelogramms sowie die Winkel des Parallelogramms zu kennen, um die Höhe in einem Parallelogramm zu finden, wenn Sie die Seiten kennen.
