Der Kreis ist eine der grundlegenden geometrischen Formen, die in der Mathematik ständig vorhanden sind. Es hat viele interessante Eigenschaften und Beziehungen. In diesem Artikel betrachten wir eine dieser Formeln – die Formel eines eingeschriebenen Winkels, der sich auf den Durchmesser eines Kreises stützt.
Der Durchmesser eines Kreises ist eine Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch seinen Mittelpunkt verläuft. Der eingeschriebene Winkel beruht auf diesem Durchmesser und ist der Winkel zwischen dem Akkord, der die Enden des Durchmessers verbindet, und dem Bogen des Kreises, der zu diesem Akkordeabschnitt gehört. Mit der Formel für einen eingeschriebenen Winkel können Sie mithilfe der Bogenlänge und des Radius eines Kreises die Größe dieses Winkels berechnen.
Die Formel des eingeschriebenen Winkels basiert auf einem Satz, der besagt, dass der Winkel, der sich auf den Durchmesser des Kreises stützt, immer gerade ist. Um also die Größe des eingeschriebenen Winkels zu finden, genügt es, die Länge der Sehne und den Radius des Kreises zu kennen. Wenn der Kreisbogen jedoch eine Länge hat, die der Hälfte des Radius des Kreises entspricht, ist der eingeschriebene Winkel gerade. Wenn die Länge des Bogens größer oder kleiner als die Hälfte des Radius ist, beträgt der Winkel entsprechend mehr oder weniger als 90 Grad.
Der Wert des eingegebenen Winkels auf dem Kreis
Auf einem Kreis wird jeder eingeschriebene Winkel durch eine Linie definiert, die die beiden Punkte des Kreises verbindet und durch seinen Mittelpunkt verläuft. Der Wert des eingegebenen Winkels auf einem Kreis kann mit einer Formel berechnet werden, die auf dem Durchmesser des Kreises basiert.
Formel zur Berechnung des eingegebenen Winkels auf einem Kreis:
- Der Winkel entspricht dem doppelten mittleren Winkel, der durch die gleichen Punkte auf dem Kreis gebildet wird;
- Der Winkel ist auch gleich der Hälfte des durch diesen Winkel begrenzten Bogens;
- Der Wert des eingegebenen Winkels auf einem Kreis kann mit der Formel berechnet werden: α = 2arcsin (d/2r), wobei α der eingegebene Winkel ist, d der Durchmesser des Kreises ist und r der Radius des Kreises ist.
Der Wert des eingegebenen Winkels auf einem Kreis ist in der Geometrie von großer Bedeutung und wird in verschiedenen Aufgaben und Formeln verwendet. Mit diesem Wert können Sie viele andere Parameter des Kreises und des Dreiecks definieren, in das der Kreis eingetragen ist.
Grundlegende Konzepte und Definitionen
Durchmesser - Dies ist eine Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. Der Durchmesser ist der größte Schnitt, der an einem Kreis gehalten werden kann.
Eingeschriebener Winkel ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt, und die Seiten verlaufen durch die Punkte, an denen sich der Kreis mit dem Akkord schneidet (ein Segment, das die beiden Punkte auf dem Kreis verbindet).
Die Formel des eingeschriebenen Winkels ist ein mathematischer Ausdruck, der das Maß des eingeschriebenen Winkels, das Maß des zentralen Winkels (dessen Eckpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist) und das Maß des Bogens verbindet, das der eingeschriebene Winkel einschränkt.
Nehmen wir an, wir haben einen Kreis mit einem Mittelpunkt am Punkt O und einem Durchmesser AB. Lassen Sie den Punkt C auf diesem Kreis liegen.
Dann ist der Winkel von ACB ein eingeschriebener Winkel, der mit einer Formel ausgedrückt werden kann:
Winkel ACB = (1/2) * Winkel AOV
wobei der Winkel AOV der zentrale Winkel ist und (1/2) der Koeffizient ist, der die Beziehung zwischen dem Maß des eingegebenen Winkels und dem Maß des zentralen Winkels widerspiegelt.
Radius und Durchmesser des Kreises
Der Radius eines Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zu jedem Punkt, der auf dem Kreis liegt. Wird durch "r" gekennzeichnet. Die Länge des Radius kann mit einer Formel berechnet werden:
r = D/2
wobei D die Länge des Durchmessers des Kreises ist.
Der Durchmesser eines Kreises ist der Abstand zwischen zwei Punkten, die auf einem Kreis liegen und durch seinen Mittelpunkt verlaufen. Wird durch "D" gekennzeichnet. Der Durchmesser kann auch mit einer Formel durch einen Radius ausgedrückt werden:
D = 2r
Radius und Durchmesser sind miteinander verbundene Parameter eines Kreises und werden bei verschiedenen geometrischen Problemen verwendet. Wenn Sie einen dieser Parameter kennen, können Sie den anderen leicht berechnen.
Wenn beispielsweise der Durchmesser eines Kreises bekannt ist, kann sein Radius berechnet werden, indem der Durchmesser durch 2 geteilt wird. Umgekehrt wird der Radius mit 2 multipliziert, um den Durchmesser des Kreises zu erhalten.
| Radius (r) | Durchmesser (D) |
| 5 cm | 10 cm |
| 7 m | 14 m |
| 12 mm | 24 mm |
Daher spielen der Radius und der Durchmesser des Kreises eine wichtige Rolle in der Geometrie und werden in verschiedenen Bereichen, einschließlich Technik, Architektur und Wissenschaft, weit verbreitet eingesetzt.
Eingeschriebener Winkel, der sich auf Durchmesser stützt
Wenn Sie einen Kreis betrachten und einen Durchmesser durch seinen Mittelpunkt ziehen, wird jeder Winkel, der sich auf diesen Durchmesser stützt, gerade sein. Dies folgt aus der Tatsache, dass die vom Winkel gebildeten Akkorde gleich sind und jeder von ihnen den Kreis in zwei identische Bögen teilt, da der Durchmesser den Kreis in zwei gleiche Teile teilt.
Mit dieser Eigenschaft können Sie eine Formel für die Größe des eingegebenen Winkels ableiten, der sich auf den Durchmesser stützt. Die Formel lautet wie folgt:
Winkel = 2 * Arcsinus (Sehnenlänge / Durchmesser)
Wobei der Winkel im Bogenmaß angegeben wird, werden die Sehnenlänge und der Durchmesser in identischen Längeneinheiten gemessen. Diese Formel ermöglicht es Ihnen, die Größe des eingeschriebenen Winkels zu finden, der sich auf den Durchmesser stützt, wenn die Sehnenlänge und der Durchmesser bekannt sind.
Zentraler Winkel und eingeschriebener Winkel
Ein eingeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt sich auf einem Kreis befindet, und die Seiten verlaufen durch die Punkte des Kreises und stützen sich auf den Durchmesser.
Die Formel eines eingeschriebenen Winkels, der sich auf den Durchmesser eines Kreises stützt, kann wie folgt ausgedrückt werden: Der Winkel, der sich auf den Durchmesser stützt, beträgt 90 Grad.
Diese Eigenschaft des eingeschriebenen Winkels kann bei Geometrieproblemen nützlich sein, z. B. beim Zeichnen von Dreiecken oder Vektordiagrammen, um Winkel zu finden.
Die Formel des eingeschriebenen Winkels, der sich auf den Durchmesser stützt
Lassen Sie uns zunächst die Bedingung ausdrücken, dass der Winkel in einen Kreis geschrieben ist und sich auf den Durchmesser stützt:
- Der AOW-Winkel ist ein eingeschriebener Winkel.
- Der AB-Schnitt ist der Durchmesser des Kreises.
- Der Referenzdurchmesser ist ein Abschnitt von AO, dh der Winkel von AO beruht auf dem Durchmesser von AB.
Sie können nun zu einer Formel wechseln, um die Größe des eingegebenen Winkels zu berechnen, der sich auf den Durchmesser stützt:
Wenn also bekannt ist, dass ein Winkel auf einem Durchmesser beruht, kann sein Wert als 90 Grad berechnet werden.
Beweis der Formel
Um die Formel eines eingeschriebenen Winkels zu beweisen, der sich auf den Durchmesser des Kreises stützt, betrachten Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt von O und einem Radius von r.
Sei P der Punkt auf dem Kreis und OP der Radius. Beachten Sie, dass der Winkel des POQ ein rechtwinkliger Winkel ist, da er auf dem Durchmesser des PQ liegt. Daher beträgt der POQ-Winkel 90 Grad.
Da der PRQ-Winkel auch auf dem Durchmesser von PQ basiert, ist er gleich der Hälfte des POQ-Winkels. Das heißt, der PRQ-Winkel beträgt 45 Grad.
Jetzt können wir trigonometrische Funktionen verwenden, um den PQR-Winkelwert über den Radius des Kreises und die PQ-Seite auszudrücken. Beachten Sie, dass das Dreieck PQR an der Spitze von R rechteckig ist.
Verwenden Sie das Tangente-Verhältnis, um den PQR-Winkel zu finden:
- Die Tangente des Winkels PQR entspricht dem Verhältnis des entgegengesetzten QR-Katheters zum angrenzenden RQ-Katheter:
- tan(PQR) = QR / RQ
- Da der Winkel von PRQ 45 Grad beträgt und PQ dem Radius von r entspricht, ist PR gleich r.
- Da der PQR-Winkel ein zusätzlicher Winkel zum PRQ-Winkel ist, beträgt der PQR-Winkel 90 - 45 = 45 Grad.
- Auf diese Weise erhalten wir, dass tan(PQR) = QR / r.
Daraus erhalten wir, dass QR = r * tan (PQR) ist.
So haben wir eine Formel erhalten, um die Seite eines Dreiecks zu berechnen, das sich auf den Durchmesser des Kreises stützt:
Beispiele für die Anwendung der Formel
Die Formel eines eingeschriebenen Winkels, der sich auf den Durchmesser eines Kreises stützt, findet ihre Anwendung in verschiedenen mathematischen und geometrischen Aufgaben. Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Verwendung dieser Formel:
- Berechnen des eingegebenen Winkels: wenn der Durchmesser des Kreises und die Länge des Bogens bekannt sind, können Sie mit dieser Formel die Größe des eingegebenen Winkels berechnen.
- Bestimmen der Position eines Punktes auf einem Kreis: wenn Sie die Koordinaten des Mittelpunkts eines Kreises und die Koordinaten eines Punktes kennen, können Sie mithilfe einer Formel den eingeschriebenen Winkel und somit die Position des Punktes auf dem Kreis bestimmen.
- Konstruieren von geometrischen Formen: die Formel kann verwendet werden, um die Winkel zwischen Linien oder Linien zu berechnen, die die Durchmesser eines Kreises sind.
Dies sind nur einige Beispiele für die Verwendung der Formel für einen eingeschriebenen Winkel, der sich auf den Durchmesser eines Kreises stützt. Wenn Sie diese Formel kennen und anwenden, können Sie eine Vielzahl von Problemen in Geometrie und Mathematik lösen.
Wichtige Eigenschaften des eingeschriebenen Winkels
1. Konsequenz aus der Formel:
Der eingeschriebene Winkel, der sich auf den Durchmesser des Kreises stützt, ist immer gleich 90 Grad.
2. Das Verhältnis des eingeschriebenen Winkels zum zentralen Winkel:
Ein eingeschriebener Winkel, der sich auf den Durchmesser eines Kreises stützt, ist die Hälfte des zentralen Winkels, der sich auf denselben Durchmesser stützt.
3. Eingeschriebener Winkel und Akkord des Kreises:
Der eingeschriebene Winkel und die Sehne des Kreises, die sich auf demselben Bogen stützen, sind einander gleich.
4. Eingeschriebener Winkel und scharfer Winkel:
Ein eingeschriebener Winkel, der sich auf den Durchmesser des Kreises stützt, ist immer ein scharfer Winkel.
5. Eingeschriebener Winkel und stumpfer Winkel:
Ein eingeschriebener Winkel, der sich auf den Durchmesser des Kreises stützt, ist immer ein stumpfer Winkel.
6. Eingeschriebener Winkel und angrenzender Winkel:
Der an den eingeschriebenen Winkel angrenzende Winkel, der auf demselben gestreckten Durchmesser liegt, ist gerade.
Diese Eigenschaften von eingeschriebenen Winkeln sind die wichtigsten Eigenschaften bei der Lösung geometrischer Probleme, die mit Kreisen verbunden sind.
