Lassen Sie uns beweisen, dass die Zahlen von ab ba durch 9 geteilt werden.

In der Mathematik sind wir täglich mit verschiedenen Aufgaben und Theoremen konfrontiert, die bewiesen oder widerlegt werden müssen. Eine solche Aufgabe besteht darin, zu beweisen, dass die Zahlen ab und ba, die nacheinander geschrieben werden, durch 9 geteilt werden.

Zuerst müssen Sie verstehen, wie solche Zahlen gebildet werden. Wenn die Zahl ab als Zahl a gefolgt von der Zahl b geschrieben wird, wird die Zahl ba als Zahl b geschrieben, gefolgt von der Zahl a. Auf diese Weise erhalten wir zwei Zahlen, die sich nur in der Reihenfolge der Ziffern unterscheiden.

Und so, lassen Sie uns beweisen, dass ab ba durch 9 geteilt wird. Um dies zu tun, müssen wir beweisen, dass die Summe seiner Ziffern ein Vielfaches von 9 ist. Mit der Additionseigenschaft von Zahlen nach Modul 9 können wir feststellen, dass die Summe der Ziffern der Zahl ab und ba der Summe der Ziffern der Zahl a und der Zahl b entspricht.

Wenn also die Summe der Ziffern von a und b ein Vielfaches von 9 ist, ist die Summe der Ziffern von ab ba auch ein Vielfaches von 9. Der Beweis ist abgeschlossen! Wir haben bewiesen, dass ab ba durch 9 teilbar ist, da die Summe seiner Ziffern ein Vielfaches von 9 ist.

Nachweis der Division durch 9 für ab und ba

Schreiben wir ab als 10a + b und ba als 10b + a.

Dann ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11(a + b).

Wir sehen, dass die Summe von ab und ba ein Vielfaches von 11 ist.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass, wenn die Zahl durch 11 geteilt wird, sie auch durch 9 geteilt wird.

Sei N eine Zahl, die durch 11 teilbar ist. Es ist bekannt, dass N = 11k ist, wobei k eine Ganzzahl ist.

Wenn die Zahl N durch 11 geteilt wird, wird die Summe ihrer Ziffern auch durch 11 geteilt. Daher wird die Summe der Ziffern der Zahl 11k durch 11 geteilt.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass, wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 11 geteilt wird, die Zahl auch durch 9 geteilt wird.

Sei M eine Zahl, deren Summe von Ziffern durch 11 geteilt wird. Es ist bekannt, dass M = 11x ist, wobei x eine Ganzzahl ist.

Wenn die Summe der Ziffern der Zahl M durch 11 geteilt wird, ist die Zahl M selbst ein Vielfaches der Zahl 11.

So haben wir bewiesen, dass die Zahl ab + ba sowohl durch 11 als auch durch 9 teilbar ist.

Zersetzungsmethode in einer Reihe

Lassen Sie uns zwei Zahlen a und b in unterschiedlicher Reihenfolge schreiben. Um zu beweisen, dass ab und ba durch 9 unterteilt sind, wenden wir eine Methode an, die in einer Reihe zerlegt wird.

Wir werden jede der Zahlen mit der Summe ihrer Ziffern multiplizieren, multipliziert mit der entsprechenden Potenz von 10:

Wo ist a_i und b_i - die Ziffern der Zahlen a und b sind jeweils.

Multiplizieren wir nun diese beiden Zahlen, die in unterschiedlicher Reihenfolge geschrieben wurden:

Wir werden die Klammern öffnen und erhalten:

In ähnlicher Weise öffnen wir das Produkt von Zahlen, die in einer anderen Reihenfolge geschrieben wurden:

Beachten Sie nun, dass jede Summe in diesen Zersetzungen die Summe der Zahlenwerke ist. Beachten Sie auch, dass jedes Produkt von Zahlen durch 9 geteilt wird. Daraus folgt, dass jede Menge in ab- und ba-Zersetzungen ebenfalls durch 9 geteilt wird.

So haben wir bewiesen, dass ab und ba durch 9 unterteilt sind.

Beweis durch die Summe der Ziffern

Um zu beweisen, dass die Zahl ab und die Zahl ba durch 9 geteilt werden, können Sie die Summe-Eigenschaft der Ziffern verwenden.

Angenommen, die Zahl ab ist eine zweistellige Zahl, wobei a und b Ziffern sind. In diesem Fall kann die Zahl ab als 10a + b dargestellt werden.

Finden wir die Summe der Ziffern der Zahl ab:

1. Die erste Ziffer ist a.
2. Die zweite Ziffer ist b.

Ebenso ist es möglich, die Zahl ba als 10b + a darzustellen und die Summe der Ziffern zu finden:

1. Die erste Ziffer ist b.
2. Die zweite Ziffer ist a.

Offensichtlich sind die Summe der Ziffern der Zahl ab und die Summe der Ziffern der Zahl ba gleich:

Daher ist die Summe der Ziffern der Zahl ab und der Zahl ba gleich, was bedeutet, dass beide Zahlen durch 9 geteilt werden.

Beweis durch den Rest der Division durch 9

Um zu beweisen, dass das Produkt der beiden Zahlen ab und ba durch 9 geteilt wird, können wir den Rest der Division durch 9 verwenden.

Sei a und b zwei ganze Zahlen.

Dann stellen wir uns die Zahlen ab und ba als vor:

Das ab- und ba-Werk kann als geschrieben werden:

ab * ba = (10a + b) * (10b + a) = 100ab + 10(a^2+b^2) + ab

Zerlegen wir den resultierenden Ausdruck in die Summe:

100ab + 10(a^2+b^2) + ab = 99ab + 10(a^2+b^2 + ab)

Wir sehen, dass es einen Multiplikator von 9 in der ersten Komposition (99ab) gibt, so dass das Produkt von ab * ba durch 9 geteilt wird.

So haben wir bewiesen, dass ab * ba durch 9 unter Verwendung des Rests von der Division durch 9 geteilt wird.