Wenn wir über eine abgeleitete Funktion sprechen, bezieht sich dies normalerweise auf die Ableitung einer Funktion einer Variablen. Es gibt jedoch Situationen, in denen eine Funktion von mehreren Variablen abhängt. In solchen Fällen wird das Konzept einer privaten Ableitung verwendet.
Eine private Ableitung ist eine Verallgemeinerung einer normalen Ableitung für Funktionen mit mehreren Variablen. Damit können Sie herausfinden, wie sich der Wert einer Funktion ändert, wenn sich nur eine Variable ändert, wobei die anderen Variablen als konstant angesehen werden.
Private Derivate werden häufig in der mathematischen Analyse, Physik, Wirtschaft, Datenverarbeitung, maschinellem Lernen und vielen anderen Bereichen verwendet, in denen Funktionen von mehreren Variablen abhängen.
Um eine private Ableitung zu berechnen, müssen Sie die Funktion für jede Variable einzeln differenzieren und die anderen Variablen als konstant betrachten. Das Ergebnis ist ein Satz privater Ableitungen, von denen jede zeigt, wie sich die Funktion ändert, wenn sich die entsprechende Variable ändert.
Definition
Beispiele
Betrachten Sie einige Beispiele, um die private abgeleitete Funktion mehrerer Variablen besser zu verstehen.
- Beispiel 1: Funktion: f(x, y) = x^2 + 2y Private Ableitung durch Variable x: df/dx = 2x Private Ableitung durch Variable y: df/dy = 2
- Beispiel 2: Funktion: f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 Private Ableitung der Variablen x: df/dx = 2x Private Ableitung durch Variable y: df/dy = 2y Private Ableitung durch Variable z: df/dz = 2z
- Beispiel 3: Funktion: f(x, y) = xy + x^2 Private Ableitung der Variablen x: df/dx = y + 2x Private Ableitung der Variablen y: df/dy = x
Eigenschaften
Die private Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen hat eine Reihe interessanter Eigenschaften:
| Eigenschaft | Die Beschreibung |
|---|---|
| Regel der Summe | Die private Ableitung der Summe der Funktionen entspricht der Summe der privaten Ableitungen dieser Funktionen |
| Die Regel des Werks für eine Zahl | Die private Ableitung des Werks einer Funktion durch eine Zahl entspricht dem Produkt einer Zahl durch eine private Ableitung einer Funktion |
| Die Regel des Werks | Die private Ableitung des Werks zweier Funktionen entspricht der Summe des Werks der ersten Funktion für die private Ableitung der zweiten Funktion und des Werks der zweiten Funktion für die private Ableitung der ersten Funktion |
| Privatregel | Die private Ableitung einer privaten Zweifunktion entspricht der Differenz zwischen dem Produkt der ersten Funktion zur privaten Ableitung der zweiten Funktion und dem Produkt der zweiten Funktion zur privaten Ableitung der ersten Funktion, geteilt durch das Quadrat der zweiten Funktion |
| Kettenregel | Die private Ableitung einer komplexen Funktion entspricht dem Produkt einer privaten Ableitung einer externen Funktion zu einer privaten Ableitung einer internen Funktion |
Diese Eigenschaften sind die Grundlage für verschiedene Operationen und Vereinfachungen bei der Arbeit mit Funktionen mehrerer Variablen und erleichtern das Auffinden privater Ableitungen und das Untersuchen des Funktionsverhaltens.
Linearität
Lassen Sie die Funktion f(x, y) vorhanden sein und ihre privaten Ableitungen für die Variablen x und y werden als ∂f /xx bzw. ∂f /yy bezeichnet. Dann gilt für die Funktionen g(x, y) und h(x, y) und ihre lineare Kombination von a*g(x, y) + b*h(x, y) (wobei a und b Konstanten sind) die folgende Gleichheit:
| Operation | partielle Ableitung |
|---|---|
| a*g(x, y) + b*h(x, y) | a*∂g/∂x + b*∂h/∂x |
| a*g(x, y) + b*h(x, y) | a*∂g/∂y + b*∂h/∂y |
Wenn wir also eine private Ableitung einer linearen Kombination von Funktionen nehmen, können wir unabhängig die privaten Ableitungen jeder Funktion nehmen und sie mit den entsprechenden Koeffizienten multiplizieren und dann die resultierenden Ergebnisse addieren. Diese Eigenschaft privater Derivate ermöglicht es Ihnen, Berechnungen zu vereinfachen und eine Vielzahl von Problemen in Mathematik und Physik zu lösen.
Abgeleitete zusammengesetzte Funktion
Lassen Sie uns zwei Funktionen haben: f(x) und g(x). Wenn die Funktion f(x) differenzierbar an einem Punkt x und Funktion g(x) differenzierbar an einem Punkt f(x), dann die Ableitung der zusammengesetzten Funktion (g ∘ f)(x) entspricht dem Produkt einer abgeleiteten Funktion g(x) an einem Punkt f(x) abgeleitete Funktion f(x) an einem Punkt x.
Mathematisch wird dies wie folgt ausgedrückt:
Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ermöglicht es Ihnen, Funktionsänderungen bei komplexen Transformationen zu analysieren und lokale Extrema, kritische Punkte und andere wichtige Merkmale einer Funktion zu finden.
Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ist ein leistungsfähiges Werkzeug in der mathematischen Analyse, das in verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, der Wirtschaft und anderer Disziplinen verwendet wird.
Differenzierungsregeln
Wir haben bereits untersucht, was eine private Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen ist. Lassen Sie uns nun über die Differenzierungsregeln sprechen, die es ermöglichen, diese Ableitung zu finden.
Erstens ähnelt die Differenzierungsregel für eine Variable der üblichen Differenzierungsregel für eine einzelne Variable. Zum Beispiel, wenn wir eine Funktion haben f(x, y) und wir wollen eine private Ableitung durch eine Variable finden x. wir differenzieren die Funktion einfach durch eine Variable x und wir betrachten alle anderen Variablen als konstant.
Zweitens verwenden wir die Regel der Kettendifferenzierung, um die private abgeleitete Funktion einer zusammengesetzten Variablen zu finden. Das Wesen dieser Regel besteht darin, dass wir eine Funktion in die Zusammensetzung zweier Funktionen aufteilen und die Ableitungen von jedem einzelnen von ihnen separat finden und sie dann mit einander multiplizieren.
Drittens können wir die Differenzierungsregel für eine komplexe Funktion verwenden, um eine private Ableitung einer komplexen Funktion zu finden. Das Wesen dieser Regel besteht darin, dass wir alle Vorkommen einer Variablen innerhalb einer anderen Funktion durch den Wert dieser Variablen ersetzen und die resultierende Funktion differenzieren.
Viertens können wir die Differenzierungsregel für private Funktionen verwenden, um die private Ableitung von privaten Funktionen zu finden. Das Wesen dieser Regel besteht darin, dass wir das Private der Funktionen durch das Produkt ihrer Derivate ausdrücken und das resultierende Produkt differenzieren.
Wenn wir diese Regeln kennen, können wir daher die privaten abgeleiteten Funktionen mehrerer Variablen finden und sie verwenden, um verschiedene Aufgaben zu lösen.
Komplexe Funktion
Lassen Sie die Funktion gegeben werden z = f(g(u, v), w), wo f, g und w - funktionen mehrerer Variablen sowie u und v - unabhängige Variable.
In diesem Fall, um eine private Ableitung zu finden z durch variable u, sollten wir verwenden regel zur Differenzierung komplexer Funktionen. Es besteht darin, die einzelnen internen Funktionen konsequent zu differenzieren und zu multiplizieren.
Daher ist die private Ableitung z durch variable u gleich:
∂z/∂u = (∂f/∂x) * (∂g/∂u) + (∂f/∂y) * (∂g/∂v)
wo x und y - dies sind Funktionsargumente f, und ∂f/∂x und ∂f/∂y - seine privaten Ableitungen nach den entsprechenden Variablen.
Ebenso eine private Ableitung z durch variable v es wird:
∂z/∂v = (∂f/∂x) * (∂g/∂u) + (∂f/∂y) * (∂g/∂v)
Abgeleitete Funktionsprodukte
Die private Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen stellt eine Möglichkeit dar, eine Änderung des Werts einer Funktion in Bezug auf jede ihrer Variablen zu finden. Aber was passiert, wenn man die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen finden muss?
Lassen Sie uns zwei Funktionen f(x) und g(x) haben und wir wollen die Ableitung ihres Produkts finden: h(x) = f(x) * g(x). Um dies zu tun, müssen wir die Regel für das abgeleitete Produkt von Funktionen verwenden.
Sie können die Regel eines abgeleiteten Funktionsprodukts wie folgt schreiben:
| (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) |
| wobei f'(x) und g'(x) die privaten Ableitungen der Funktionen f(x) bzw. g(x) sind. |
Um also die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu finden, müssen Sie die Ableitung der ersten Funktion mit dem Wert der zweiten Funktion multiplizieren und dann das Produkt des Wertes der ersten Funktion der Ableitung der zweiten Funktion hinzufügen.
| f(x) = x^2 |
| g(x) = sin(x) |
h(x) = f(x) * g(x) = x^2 * sin(x)
| f'(x) = 2x |
| g'(x) = cos(x) |
Jetzt wenden wir die Regel des abgeleiteten Funktionsprodukts an:
| h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) |
| h'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x) |
Also ist die Ableitung des Produkts der Funktionen f(x) = x^2 und g(x) = sin(x) gleich h'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x).
Ableitung privater Funktionen
Die Ableitung von privaten Funktionen wird anhand der Formel berechnet:
(f/g)' = (f'g - fg') / g^2
wo f und g - funktionen von mehreren Variablen und f' und g' sind ihre Ableitungen über die entsprechenden Variablen.
Die Ableitung privater Funktionen ermöglicht es Ihnen zu bestimmen, wie sich der gewünschte Wert ändert, wenn sich die Argumente ändern, was ein wichtiges Werkzeug in verschiedenen Bereichen wie Physik, Wirtschaft, Ingenieurwesen und anderen ist. Sie kann beispielsweise verwendet werden, um die Änderungsrate eines bestimmten Parameters im System zu bestimmen.
Bei der Berechnung der Ableitung von privaten Funktionen sollten Sie die Besonderheiten jeder einzelnen Funktion berücksichtigen und die Regeln der mathematischen Differenzierung korrekt anwenden. Es ist auch wichtig, sich an die Notwendigkeit zu erinnern, Ausnahmen wie Division durch Null zu überprüfen.
Anwendungen
Die Definition und Anwendung privater Derivate in der Mathematik wird in verschiedenen wissenschaftlichen und angewandten Bereichen weit verbreitet verwendet. Lassen Sie uns einige davon betrachten:
1. Physik: Private Derivate ermöglichen es, die Veränderung physikalischer Größen in Raum und Zeit zu untersuchen. Zum Beispiel werden in der klassischen Mechanik private Derivate verwendet, um die Bewegung von Körpern zu analysieren und die Energiespar- und Impulsgesetze zu berechnen.
2. Die Wirtschaft: In Wirtschaftsmodellen werden private Derivate verwendet, um die Elastizität von Angebot und Nachfrage zu bestimmen, sowie optimale Lösungen zu analysieren und Gewinne zu maximieren.
3. Technik: In technischen Berechnungen werden private Derivate verwendet, um verschiedene physikalische Prozesse wie Wärmeübertragung, mechanische Schwingungen und elektromagnetische Felder zu modellieren und zu analysieren.
4. Biologie: Private Derivate ermöglichen es, Veränderungen biologischer Systeme im Laufe der Zeit zu untersuchen, z. B. die Geschwindigkeit des Populationswachstums oder die Ausbreitung von Krankheiten.
5. Informatik und maschinelles Lernen: In Algorithmen für maschinelles Lernen und Datenverarbeitung werden private Derivate verwendet, um Modelle zu optimieren und die Wichtigkeit von Merkmalen zu analysieren.
Alle diese Bereiche finden eine wichtige praktische Anwendung privater Derivate, um das Verständnis und die Entwicklung komplexer Systeme und Prozesse zu verbessern.
Ein bestimmtes Integral
Definiertes Funktionsintegral f(x) auf einer Strecke [a, b] wird wie folgt bezeichnet:
∫a b f(x) dx
Geometrisch ist ein bestimmtes Integral die Fläche einer Figur, die durch den Graphen der Funktion f(x), die Abszissenachse und die geraden x = a und x = b begrenzt ist.
Die Berechnung eines bestimmten Integrals erfolgt mit der Methode der Rimansummen und des Grenzwerts. Um dies zu tun, ist das Segment [a, b] es wird in n gleiche Teile aufgeteilt, und in jedem Teil wird ein beliebiger xi-Punkt ausgewählt. Dann werden die Werte der Funktion f(xi) für jede Linie addiert und mit der Linienbreite (b - a) / n multipliziert. Die Sequenz solcher Summen konvergiert bei n, das nach Unendlichkeit strebt, zu einem bestimmten Integral der Funktion f(x) in einem Segment [a, b].
Ein bestimmtes Integral kann zur Berechnung von Flächen, Bogenlängen, Volumina und anderen physikalischen Größen sowie zur Lösung von Differentialgleichungen und integralen Gleichungen verwendet werden.
Es ist wichtig zu beachten, dass der Wert eines bestimmten Integrals nicht von der Funktionsauswahl von f(x) abhängt, sondern nur vom Intervall abhängt [a, b]. Das heißt, wenn die beiden Funktionen f(x) und g(x) auf einer Linie gleich sind [a, b], dann sind ihre definierten Integrale in diesem Segment ebenfalls gleich.
