Lösung von quadratischen Gleichungen es ist eines der grundlegenden Themen im Algebrakurs für Schüler der 9. Klasse. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b und c Koeffizienten sind und x eine unbekannte Variable ist. Durch die Lösung einer quadratischen Gleichung können Sie die Werte der Variablen x ermitteln, bei denen die Gleichung korrekt ist.
In diesem Artikel betrachten wir mehrere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Die Hauptmethode, die bei der Lösung angewendet wird, ist die Formel des Diskriminanten. Die Diskriminanzformel ermöglicht es Ihnen, die Werte der Variablen x anhand der bekannten Koeffizienten a, b und c zu ermitteln. Dazu müssen Sie den Diskriminanten berechnen, der D = b 2 - 4ac ist.
Wenn der Diskriminant positiv ist (D > 0), hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wenn die Diskriminante Null ist (D = 0), hat die Gleichung eine einzelne Wurzel, die zweifach ist. Für den Fall, dass die Diskriminante negativ ist (D < 0), hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Multiplikator-Methode
Zunächst müssen wir die Gleichung eines quadratischen Dreigliedes in eine kanonische Form bringen, das heißt, sie als Produkt von zwei linearen Multiplikatoren darstellen. Dies geschieht normalerweise, indem es in Multiplikatoren oder durch Dekompositionsmethode zerlegt wird.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Sei eine quadratische Gleichung gegeben:
2x^2 + 5x - 3 = 0
Zuerst finden wir zwei Zahlen, deren Produkt dem Produkt des Koeffizienten bei einem quadratischen Term und einem freien Term entspricht (in unserem Fall 2 und -3), und die Summe ist dem Koeffizienten bei einem linearen Term gleich (in unserem Fall 5). In unserem Beispiel sind diese Zahlen 1 und -3.
Als nächstes zerlegen wir unter Verwendung der gefundenen Zahlen das Quadrattrichlen in Multiplikatoren:
2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) = 0
Jetzt haben wir zwei lineare Gleichungen erhalten, von denen jede einzeln gelöst werden kann:
Wenn wir diese Gleichungen lösen, erhalten wir die Werte der Variablen x:
Die Wurzeln der ursprünglichen quadratischen Gleichung sind also x = 1/2 und x = -3.
Die multiplikatorbasierte Methode ist eine der einfachsten und effektivsten Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Es ermöglicht Ihnen, die ursprüngliche Gleichung als Produkt von linearen Multiplikatoren darzustellen und ihre Wurzeln zu finden, indem Sie die resultierenden linearen Gleichungen lösen.
Die Formel des Diskriminanten
Um quadratische Gleichungen zu lösen, können Sie eine Diskriminanzformel verwenden, mit der Sie bestimmen können, ob und wie viele Lösungen eine gegebene Gleichung hat.
Die Formel für Diskriminante lautet wie folgt:
D = b 2 - 4ac
Hier a, b und c - Koeffizienten der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0.
Bedeutung von Diskriminanten D kann positiv, negativ oder Null sein. Abhängig vom Wert des Diskriminanten hilft die Diskriminanzformel, den Typ und die Anzahl der Gleichungslösungen zu bestimmen.
Wenn die Diskriminanz größer als Null ist (D > 0), dann hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen.
Wenn die Diskriminanz Null ist (D = 0), dann hat die Gleichung genau eine Lösung.
Mit der Diskriminanten-Formel können Sie effektiv bestimmen, welche Anzahl und welche Arten von Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
Grafische Methode
Die Grundidee der grafischen Methode besteht darin, ein Diagramm der durch die Gleichung gegebenen Funktion zu zeichnen und die Schnittpunkte dieses Diagramms mit der Abszissenachse zu finden. Wenn die Zeichen der Lösung die Koordinaten der Schnittpunkte sind, tritt eine quadratische Gleichung bei der Lösung auf, andernfalls gibt es keine Lösung.
Mit dieser Methode können Sie die Lösung visualisieren und die Anzahl der Gleichungswurzeln bestimmen. Wenn das Diagramm der Funktion die Achse der Abszisse an einem Punkt schneidet, hat die Gleichung eine reelle Wurzel. Wenn das Diagramm die Achse der Abszisse an zwei Punkten schneidet, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln. Für den Fall, dass der Graph die Achse der Abszisse nicht schneidet, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln.
Die Verwendung einer grafischen Methode kann bei der Lösung von Geometrieproblemen oder ungefähren Lösungen hilfreich sein. Es liefert jedoch nicht immer ein genaues Ergebnis und kann bei großen Variablenwerten oder nichtlinearen Funktionen schwierig zu verwenden sein.
- Das Diagramm schneidet die Achse der Abszisse an zwei Punkten (-2, 0) und (2, 0).
- Die Gleichung hat zwei reelle Wurzeln: x = -2 und x = 2.
Verwenden eines quadratischen Dreigliedes
Um zu beginnen, schreiben wir die quadratische Gleichung im Allgemeinen auf:
ax^2 + bx + c = 0
Wo a, b und c - das sind die Koeffizienten eines quadratischen Dreigliedes.
Als nächstes finden wir den Diskriminanten der Gleichung anhand der Formel:
Wenn der Diskriminant größer als Null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene gültige Wurzeln:
| Wurzel 1: | x = (-b + √D) / (2a) |
|---|---|
| Wurzel 2: | x = (-b - √D) / (2a) |
Wenn die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung eine gültige Wurzel:
| Wurzel: | x = -b / (2a) |
|---|
Wenn der Diskriminant kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln, sondern hat komplexe Wurzeln. In diesem Fall kann die Lösung der quadratischen Gleichung als dargestellt werden:
| Wurzel 1: | x = (-b + i√|D|) / (2a) |
|---|---|
| Wurzel 2: | x = (-b - i√|D|) / (2a) |
Wo i - eine imaginäre Einheit, aber |D| - Diskriminanzmodul.
Die Verwendung eines quadratischen Dreigliedes ermöglicht es Ihnen, alle möglichen Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden, unter Berücksichtigung verschiedener Fälle, abhängig von der Bedeutung des Diskriminanten.
