Der Sinus ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen, die in Mathematik, Physik und anderen Wissenschaften weit verbreitet ist. Der Sinuswert hängt vom Winkel ab, den wir betrachten. Jedoch ergeben nicht alle Winkel positive Sinuswerte. Je nach Winkel kann der Sinus entweder positiv oder negativ sein.
Es gibt vier Hauptviertel in einem sphärischen Koordinatensystem, die den gesamten Kreis in gleiche Teile teilen. Jedes Viertel hat seine eigenen Merkmale in den Sinuswerten. Im ersten Quartal, wenn der Winkel zwischen 0 und 90 Grad liegt, ist der Sinus positiv (sin(winkel) > 0). Im zweiten Quartal, wenn der Winkel zwischen 90 und 180 Grad liegt, wird der Sinus negativ (sin(winkel) < 0).
Im dritten Quartal, zwischen 180 und 270 Grad, ist der Sinus wieder positiv (sin(winkel) > 0). Schließlich wird der Sinus im vierten Quartal zwischen 270 und 360 Grad wieder negativ (sin(winkel) < 0). Diese Merkmale sind das Ergebnis einer geometrischen Interpretation eines Sinuswerts und helfen dabei, sein Vorzeichen in verschiedenen Segmenten zu definieren.
Sinus im ersten Viertel
Die positiven Sinuswerte im ersten Quartal sind durch scharfe α-Winkelwerte gekennzeichnet, dh Werte unter 90°. Zum Beispiel ist ein Sinus von 30 ° 0,5, ein Sinus von 45 ° ist √2/2 oder ungefähr 0,707 und ein Sinus von 60 ° ist √3/2 oder ungefähr 0,866.
Der Sinus im ersten Viertel kann auch als das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite des Katheters zur Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks dargestellt werden, wobei die Hypotenuse der Radius des Kreises ist und die gegenüberliegende Seite des Katheters die Höhe des Dreiecks ist. Diese Eigenschaft ermöglicht die Verwendung des Sinus bei der Lösung geometrischer und trigonometrischer Probleme im ersten Quartal.
Positive Sinuswerte
Im ersten Quartal ist der Sinus positiv, da in diesem Quartal alle Sinuswerte größer als Null sind. Dies liegt daran, dass die Sinusfunktion im ersten Quartal nur in Sektor I wahrgenommen werden kann, wo die Werte positiv sind. Bei einem Winkel von 30 Grad (π / 6 Radiant) beträgt der Sinuswert beispielsweise 0,5.
Es ist auch erwähnenswert, dass der Sinuswert bei Null und 180 Grad (0 und π Radiant) Null ist.
Positive Sinuswerte sind wichtig bei der Lösung verschiedener Probleme und Probleme in Mathematik, Physik und anderen Wissenschaften. Wenn Sie diese Werte kennen, können Sie Funktionen analysieren, Diagramme erstellen und Rechenaufgaben ausführen.
Negative Sinuswerte
Im zweiten Quartal liegt der Winkel zwischen 90° und 180°. In diesem Viertel ist der Sinuswert negativ, da die vertikale Koordinate eines Punktes auf der Ebene negativ ist und der Sinus eines Winkels als das Verhältnis der vertikalen Koordinate zur Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks definiert ist.
Im dritten Quartal liegt der Winkel zwischen 180° und 270°. Auch hier ist der Sinuswert negativ, da beide Koordinaten des Punktes auf der Ebene negativ sind und der Sinus des Winkels durch das Verhältnis der vertikalen Koordinate zur Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks bestimmt wird.
Beachten Sie, dass die Sinuswerte im zweiten und dritten Quartal negativ sein können, aber modulo sind sie gleich den positiven Werten im ersten und vierten Quartal.
Sinus im zweiten Quartal
Im zweiten Quartal gibt es Winkel, bei denen der Sinuswert positiv, aber kleiner als eins ist.
Das zweite Viertel umfasst Winkel von 90° bis 180°.
Der Hauptwinkel im zweiten Viertel beträgt 180 °. In diesem Fall ist der Sinus 0, da der gegenüberliegende Katheter 0 ist und die Länge der Hypotenuse 1 ist (die Hypotenuse ist immer 1 für Punkte auf dem Einheitskreis).
Der Sinus im zweiten Quartal kann als eine Funktion dargestellt werden, die von 1 auf 0 abnimmt, wenn sie sich 180 ° nähert.
Im zweiten Quartal gibt es jedoch auch spezielle Winkel mit bekannten und einfachen Sinuswerten:
- 90° -Winkel: Der Sinus ist 1.
- Winkel 120°: Der Sinus ist √3 / 2.
- Winkel 150°: Der Sinus ist 1 / 2.
In allen anderen Fällen liegt der Sinus im zweiten Quartal zwischen 1 und 0.
Positive Sinuswerte
Im ersten Quartal (0 bis π/2) ist der Sinus im gesamten Intervall positiv und liegt zwischen 0 und 1. Wenn beispielsweise ein Winkel von π/4 erreicht wird, ist der Sinuswert √2/2.
Im zweiten Quartal (von π/2 bis π) ist der Sinus nur am Anfang der Lücke positiv und liegt zwischen 0 und 1. Bei einem Winkel von 3π /4 beträgt der Sinuswert beispielsweise √2/2.
Im dritten Quartal (π bis 3π/2) ist der Sinus nur am Ende der Lücke positiv und liegt zwischen -1 und 0. Wenn beispielsweise ein Winkel von 5π/4 erreicht wird, beträgt der Sinuswert -√2/2.
Im vierten Quartal (3π/2 bis 2π) ist der Sinus im gesamten Intervall positiv und liegt zwischen -1 und 0. Bei einem Winkel von 7π /4 ist der Sinuswert beispielsweise -√2/2.
| Ein Viertel | Von Winkel 0 | Bis zum Winkel π/2 |
|---|---|---|
| Die erste | 0 | 1 |
| Die zweite | 1 | 0 |
| Dritte | 0 | -1 |
| Der vierte | -1 | 0 |
Daher befinden sich die positiven Sinuswerte im ersten und vierten Quartal und die negativen Werte im zweiten und dritten Quartal.
