Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Eine interessante Tatsache ist, dass die Mittelseiten des Parallelogramms immer ein Rechteck bilden. Diese Regel kann durch elementare geometrische Überlegungen nachgewiesen werden.
Stellen Sie sich ein Parallelogramm von ABCD vor, wobei A, B, C und D die Eckpunkte dieses Vierecks sind. Zeichnen wir die Diagonalen AC und BD, die sich am Punkt O. schneiden. Zeichnen wir auch Linien, die die Mittelseiten von AB, BC, CD und DA verbinden, und bezeichnen sie entsprechend mit den Punkten E, F, G und H.
Beachten Sie nun, dass die Mitte jeder Seite des Parallelogramms die Mitte der entsprechenden Diagonale ist. Zum Beispiel ist der Punkt E die Mitte der AB-Seite und gleichzeitig die Mitte der BD-Diagonale. In ähnlicher Weise ist der Punkt F der Mittelpunkt der Seite BC und der Diagonale AC, usw.
Nachweis, dass die Mittelseiten des Parallelogramms ein Rechteck bilden
Gegeben: ABCD-Parallelogramme.
Es ist erforderlich zu beweisen, dass die Mittelseiten des Parallelogramms ein Rechteck bilden.
Beweis:
1. Betrachten Sie das Parallelogramm ABCD und bezeichnen Sie die Mitte seiner Seiten: M ist die Mitte des AB-Gesichtes, N ist die Mitte des BC-Gesichtes, P ist die Mitte des CD-Gesichtes, Q ist die Mitte des AD-Gesichtes.
2. Zeichnen wir die Diagonale des AC-Parallelogramms ABCD und bezeichnen es mit dem Punkt O.
3. Da M die Mitte der Seite AB ist, ist AM = MB.
4. Beachten Sie, dass das Dreieck AOM und das Dreieck BOC ähnlich sind, da der Winkel von AOM gleich dem Winkel von BOC ist (sie befinden sich auf derselben Diagonale von AC) und der Winkel von OAM gleich dem Winkel von OCB ist (sie sind die entsprechenden Winkel bei parallelen Geraden von AM und BC).
5. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AOM und BOC ergibt sich, dass der Winkel von OBM gleich dem Winkel von OCA ist.
6. Ähnliche Argumente können zeigen, dass die Winkel von NBP und PDA dem Winkel von OCA entsprechen.
7. Da die Winkel von OBM und NBP gleich dem Winkel von OCA sind, ist der Winkel von NBP gleich dem Winkel von OBM. Und da die Winkel von NBP und PDA gleich dem Winkel von OCA sind, ist der Winkel von PDA gleich dem Winkel von OBM.
8. Es kann auch gezeigt werden, dass die Winkel von QCM und PDA dem Winkel von OBM entsprechen.
9. Aus Punkt 7 und Punkt 8 ergibt sich, dass die Winkel von PDA, QCM und OBM gleich sind.
10. Aus Punkt 9 folgt, dass eine gerade PQ parallel zu einer geraden BC ist, da die Winkel von PDA und QCM bei parallelen Geraden PD und QC gleich sind.
11. Ebenso kann gezeigt werden, dass eine gerade MN parallel zu einer geraden AD ist.
12. Aus Punkt 10 und Punkt 11 folgt, dass die gerade PQ parallel zur geraden MN ist, da sie parallel zu den entsprechenden Seiten des ABCD-Parallelogramms sind.
13. Da die gerade PQ parallel zu den geraden BC und MN verläuft, schneiden sich die geraden BC und MN an einem unendlich entfernten Punkt, dh ihr Schnittpunkt bildet einen rechten Winkel.
14. Aus Punkt 13 folgt, dass gerade BC und MN senkrecht sind, da sie sich im geraden Winkel schneiden.
15. Somit bilden die Mittelseiten des ABCD-Parallelogramms (die Punkte M, N, P und Q) ein Rechteck, da die geraden BC und MN senkrecht sind.
Definieren eines Parallelogramms und seiner Eigenschaften
Ein Parallelogramm wird als Viereck bezeichnet, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und in der Länge gleich sind.
Grundlegende Eigenschaften eines Parallelogramms:
| 1. | Die gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms sind parallel. |
| 2. | Die gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms sind gleich. |
| 3. | Die benachbarten Winkel des Parallelogramms sind benachbart und ihre Summe beträgt 180 °. |
| 4. | Die Diagonalen des Parallelogramms sind in zwei Hälften geteilt. |
Die Mittelseiten des Parallelogramms bilden ein Rechteck. Dazu werden die Mitte der entsprechenden Seiten des Parallelogramms genommen und durch ein Segment verbunden. Durch die Eigenschaft der Mitte des Segments verläuft diese Gerade durch die Mitte der beiden anderen Seiten. Auf diese Weise wird ein Rechteck mit gegenüberliegenden Seiten gebildet, das parallel zu den Seiten des Parallelogramms verläuft.
Sie können diese Eigenschaft mithilfe der Koordinatengeometrie oder mithilfe der Eigenschaften Parallelogramm und Gerade bezeugen. Auf jede Weise wird das gleiche Ergebnis erzielt - die Mittelseiten des Parallelogramms bilden ein Rechteck.
Definition und Eigenschaften der Mitte der Seite eines Parallelogramms
Die Mitte der Seite eines Parallelogramms wird als Punkt bezeichnet, der diese Seite in zwei gleiche Teile teilt und die Mitte der beiden anderen Seiten des Parallelogramms verbindet. Es sollte beachtet werden, dass jede Seite des Parallelogramms ihre eigene Mitte hat.
Die Mittelseiten des Parallelogramms haben eine Reihe interessanter Eigenschaften:
1. Die Summe der Vektoren, die die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms verbinden, ist gleich dem Vektor Null: m(d) + m(a) = 0.
2. Die Linie, die die Mittelpunkte der beiden gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms verbindet, teilt es in zwei gleiche Flächen.
3. Die Mittellinie eines Parallelogramms wird als eine Linie bezeichnet, die die Mitte der beiden Seiten eines Parallelogramms verbindet. Diese Linie verläuft durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms.
4. Die Linie, die die Mitte der gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms verbindet, ist seine Diagonale und teilt sie in zwei gleiche Dreiecke.
5. Die gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms sind in der Länge gleich und parallel.
6. Die senkrechten Mittel des Parallelogramms, die von der Mitte einer Seite zur gegenüberliegenden Seite gezogen werden, sind in der Länge gleich und parallel zueinander.
7. Die Linien, die die Mittelseiten des Parallelogramms mit den Eckpunkten verbinden, teilen es in vier gleiche Teile.
Nachweis, dass die Mittelseiten des Parallelogramms auf einer geraden Linie liegen
Lassen Sie uns zwei Diagonale des Parallelogramms zeichnen - AC und BD. Die Diagonalen des Parallelogramms sind in zwei Hälften geteilt.
Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Diagonalen als O. Dabei werden AO = OC (durch die Eigenschaft der Teilung des Segments in zwei Hälften) und BO = OD (auch durch die Eigenschaft der Teilung des Segments in zwei Hälften) angegeben.
Betrachten wir das AB-Segment. Wir werden auch einen Abschnitt der CD und seinen Mittelpunkt N. Gemäß den Eigenschaften des Parallelogramms, AB, durchführen.
