Eine der interessanten Aufgaben der Kombinatorik besteht darin, die Anzahl der fünfstelligen Zahlen zu bestimmen, bei denen alle benachbarten Zahlen unterschiedlich sind. Dies bedeutet, dass eine Ziffer nicht zweimal hintereinander wiederholt werden kann. Diese Aufgabe ist sehr einfach mit Kombinatorik zu lösen.
Betrachten Sie zunächst die Anzahl aller fünfstelligen Zahlen, die aus den Ziffern 0-9 abgeleitet werden können. Offensichtlich kann jede Zahlenposition mit einer dieser 10 Ziffern gefüllt werden. Also haben wir $10 \ times 10 \ times 10 \ times 10 \ times 10 = 100000$ mögliche fünfstellige Zahlen.
Aus der Menge aller fünfstelligen Zahlen müssen jedoch diejenigen ausgeschlossen werden, die zwei identische benachbarte Zahlen haben. Betrachten wir die möglichen Varianten solcher Zahlen:
- Wiederkehrende erste und zweite Ziffer: In diesem Fall kann die erste Ziffer aus 9 möglichen Optionen ausgewählt werden (wir schließen 0 aus) und die zweite Ziffer aus 9 möglichen Optionen (wir schließen die bereits ausgewählte erste Ziffer und 0 aus). Die verbleibenden drei Positionen können mit einer der 10 verfügbaren Ziffern gefüllt werden. Daher ist die Gesamtzahl solcher Zahlen $9 \times 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 81000$.
- Wiederholte letzte und vorletzte Ziffer: Hier kann die vorletzte Ziffer aus 9 möglichen Optionen ausgewählt werden (wir schließen 0 aus) und die letzte Ziffer aus 9 möglichen Optionen (wir schließen die bereits ausgewählte vorletzte Ziffer und 0 aus). Die anderen drei Positionen können mit einer der 10 verfügbaren Ziffern gefüllt werden. Daher ist die Gesamtzahl solcher Zahlen auch $9 \times 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 81000$.
- Wiederholte durchschnittliche Zahl: In diesem Fall kann die mittlere Ziffer aus 9 möglichen Optionen ausgewählt werden (wir schließen 0 aus). Alle anderen Positionen können mit einer der 10 verfügbaren Ziffern gefüllt werden. Die Gesamtzahl solcher Zahlen ist also $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90.000$.
- Wiederkehrende zweite und dritte Ziffer: Die erste Ziffer kann in diesem Fall aus 10 möglichen Optionen ausgewählt werden (0 ist aktiviert) und die zweite und dritte Ziffer aus 9 möglichen Optionen (wir schließen die bereits ausgewählte erste Ziffer und 0 aus). Die verbleibenden zwei Positionen können mit einer der 10 verfügbaren Ziffern gefüllt werden. Daher ist die Gesamtzahl solcher Zahlen $10 \times 9 \times 9 \times 10 \times 10 = 81000$.
Daher ist die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen mit verschiedenen benachbarten Ziffern gleich:
100000 - 81000 - 81000 - 90000 - 81000 = 9000
Es gibt also nur 9000 fünfstellige Zahlen, bei denen alle benachbarten Ziffern unterschiedlich sind.
Der Wert von fünfstelligen Zahlen
Fünfstellige Zahlen bestehen aus fünf Stellen und können je nach Größe jeder Ziffer unterschiedliche Werte annehmen. Jede Ziffer in einer fünfstelligen Zahl hat ihren Platz und bestimmt ihren Wert.
Beispielsweise besteht die fünfstellige Zahl 12345 aus den folgenden Ziffern:
- Die erste Ziffer ist 1
- Die zweite Ziffer ist 2
- Die dritte Ziffer ist 3
- Die vierte Ziffer ist 4
- Die fünfte Ziffer ist 5
Der Wert der fünfstelligen Zahl 12345 ist gleich:
1 * 10^4 + 2 * 10^3 + 3 * 10^2 + 4 * 10^1 + 5 * 10^0 = 10000 + 2000 + 300 + 40 + 5 = 12345
Daher kann der Wert von fünfstelligen Zahlen unterschiedlich sein und hängt von der Position jeder Ziffer in der Zahl ab.
