Zahlen, die durch 45 geteilt werden, werden gleichzeitig durch 5 und 9 geteilt. Damit eine Zahl durch 5 geteilt wird, muss ihre letzte Ziffer 0 oder 5 sein. Damit eine Zahl durch 9 geteilt wird, muss die Summe ihrer Ziffern ein Vielfaches von 9 sein. Um eine vierstellige Zahl zu erhalten, deren letzte Ziffer 0 ist, müssen wir zwei mittlere Ziffern auswählen, deren Summe ein Vielfaches von 9 sein muss, und eine erste Ziffer, die beliebig sein kann.
Wir haben jedoch eine zusätzliche Einschränkung: Die beiden mittleren Ziffern müssen auch ein Vielfaches von 7 sein. Dazu müssen wir alle möglichen Kombinationen von zwei Ziffern überprüfen, die durch 7 geteilt werden, und prüfen, wie viele von ihnen mit der verbleibenden ersten Ziffer eine Zahl bilden, deren Summe ein Vielfaches von 9 ist.
Wenn wir dieses Problem lösen, können wir eine Tabelle von Zahlen, die durch 7 geteilt werden, im Bereich von 10 bis 99 erstellen (da die beiden mittleren Ziffern zweistellige Zahlen sind). Dann überprüfen wir jede Kombination, indem wir die beiden mittleren Ziffern und die erste Ziffer addieren und sicherstellen, dass die Summe der Ziffern ein Vielfaches von 9 ist. Am Ende können wir feststellen, wie viele vierstellige Zahlen die Bedingung einer Aufgabe erfüllen.
Die Methode des Zählens
Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu bestimmen, die durch 45 geteilt werden, wobei die beiden mittleren Ziffern durch 9 und 7 geteilt werden, befolgen Sie die folgende Methode:
- Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Kombinationen für die beiden mittleren Ziffern, die durch 9 und 7 geteilt werden.
- Berechnen Sie die Anzahl der möglichen Kombinationen für die verbleibenden zwei Ziffern. Dazu können Sie das Multiplikationsprinzip verwenden.
- Multiplizieren Sie die resultierenden Werte in den Punkten 1 und 2, um die Gesamtzahl der vierstelligen Zahlen zu erhalten, die die Bedingung erfüllen.
Durch die Anwendung dieser Technik können Sie also die genaue Anzahl von vierstelligen Zahlen bestimmen, die durch 45 geteilt werden, wobei die beiden mittleren Ziffern durch 9 und 7 geteilt werden.
Teilbarkeit durch 45
Um zu bestimmen, wie viele vierstellige Zahlen durch 45 geteilt werden, müssen wir die Bedingungen berücksichtigen, die sie erfüllen müssen.
Die Teilbarkeit durch 45 bedeutet, dass die Zahl sowohl durch 9 als auch durch 5 geteilt wird. Damit eine Zahl vierstellig ist, kann die erste Ziffer nicht Null sein.
Dabei wissen wir, dass die beiden mittleren Ziffern sowohl durch 9 als auch durch 7 geteilt werden müssen.
Betrachten wir jede Bedingung einzeln.
1. Teilbarkeit durch 9: Wenn eine Zahl durch 9 geteilt wird, muss die Summe ihrer Ziffern ebenfalls ein Vielfaches von 9 sein. Die Summe der Ziffern einer Zahl zwischen 1000 und 9999 ist 45, und nur eine dieser Beträge (45) ist ein Vielfaches von 9. Daher haben wir nur eine Möglichkeit für die erste und letzte Ziffer - 5.
2. Teilbarkeit durch 7: Damit eine Zahl ein Vielfaches von 7 ist, muss sie einen bestimmten Rest haben, wenn sie durch 7 geteilt wird. Betrachten Sie die möglichen Mittelwerte von zwei Ziffern. Wir wissen, dass es nur Kombinationen gibt 18, 27, 36, 45, 54, 63 und 72 ergibt Zahlen, die ein Vielfaches von 7 sind.
Daher haben wir die folgenden möglichen Kombinationen von zwei mittleren Ziffern: 18, 27, 36, 45, 54, 63 und 72.
Daher ist die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die die Teilbarkeitsbedingung durch 45 erfüllen, wobei die mittleren Ziffern ein Vielfaches von 9 und 7 sind, 7.
Teilbarkeit durch 9
- Wenn die erste und letzte Ziffer 1 sind, werden die mittleren Ziffern durch 8 und 7 geteilt, dies ist jedoch nicht möglich, da 8 und 7 außer 1 keine gemeinsamen Teiler mit 9 haben.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 2 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 7 und 8 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 07 und 14. So erhalten wir zwei Zahlen: 207 und 214.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 3 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 6 und 7 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 06 und 14. Wir erhalten zwei Zahlen: 306 und 314.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 4 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 5 und 6 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 05 und 12. Wir erhalten zwei Zahlen: 405 und 412.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 5 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 4 und 5 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 04 und 13. Wir erhalten zwei Zahlen: 504 und 513.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 6 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 3 und 4 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 03 und 12. Wir erhalten zwei Zahlen: 603 und 612.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 7 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 2 und 3 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 02 und 11. Wir erhalten zwei Zahlen: 702 und 711.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 8 sind, sollten die mittleren Ziffern durch 1 und 2 geteilt werden. Die Optionen für die mittleren Ziffern sind 01 und 10. Wir erhalten zwei Zahlen: 801 und 810.
- Wenn die erste und letzte Ziffer 9 sind, werden die mittleren Ziffern durch 9 und 1 geteilt, dies ist jedoch nicht möglich, da 9 und 1 außer 1 keine gemeinsamen Teiler mit 9 haben.
Es gibt also insgesamt 8 vierstellige Zahlen, die durch 45 geteilt werden und die Bedingung der Aufgabe erfüllen.
Teilbarkeit durch 7
Bei einer zweistufigen Aufgabe, bei der die Anzahl der vierstelligen Zahlen ermittelt werden muss, die durch 45 teilbar sind und die mittleren zwei Ziffern auch durch 9 und 7 teilbar sind, müssen die Bedingungen für die Teilbarkeit durch 7 berücksichtigt werden.
Auf dieser Grundlage können wir feststellen, dass die Summe dieser Ziffern, wenn die beiden mittleren Ziffern durch 9 und 7 geteilt werden, auch durch 9 und 7 geteilt wird. Daraus folgt, dass, wenn wir wissen, dass die Zahl durch 45 geteilt wird, sie notwendigerweise auch durch 7 geteilt wird.
Um also die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu zählen, die durch 45 und die beiden mittleren Ziffern durch 9 und 7 geteilt werden, können wir uns nur auf die Bedingung der Division durch 45 beschränken und nicht tiefer in die Details der Teilbarkeit durch 7 eingehen.
Diese Methode reduziert die Anzahl der Berechnungen erheblich und vereinfacht die Aufgabe. Daher können wir argumentieren, dass die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die durch 45 geteilt werden und die beiden mittleren Ziffern durch 9 und 7 geteilt werden, der Anzahl der vierstelligen Zahlen entspricht, die nur durch 45 geteilt werden.
Zahlen zählen
Um herauszufinden, wie viele vierstellige Zahlen durch 45 geteilt werden und zwei mittlere Ziffern haben, die in 9 und 7 unterteilt sind, müssen mehrere Bedingungen berücksichtigt werden.
In einer vierstelligen Zahl kann die erste Ziffer nicht Null sein, daher wählen wir sie aus dem Bereich von 1 bis 9 aus. Die zweite Ziffer kann beliebig sein, daher wird sie aus dem Bereich von 0 bis 9 ausgewählt. Die dritte Ziffer kann beliebig sein, da sie durch 9 geteilt werden muss und die dritte Ziffer aus dem Bereich von 0 bis 9 ausgewählt wird. Die vierte Ziffer kann auch beliebig sein, da sie durch 5 geteilt werden muss, so dass sie aus dem Bereich von 0 bis 9 ausgewählt wird.
Die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die alle Bedingungen erfüllen, kann daher durch Multiplizieren der Anzahl der Optionen für jede Ziffer berechnet werden:
Anzahl der vierstelligen Zahlen = Anzahl der Optionen für die erste Ziffer * Anzahl der Optionen für die zweite Ziffer * Anzahl der Optionen für die dritte Ziffer * Anzahl der Optionen für die vierte Ziffer
Anzahl der Optionen für die erste Ziffer = 9 (da sie nicht null sein kann)
Anzahl der Optionen für die zweite Ziffer = 10 (0 bis 9)
Anzahl der Optionen für die dritte Ziffer = 10 (0 bis 9)
Anzahl der Optionen für die vierte Ziffer = 10 (0 bis 9)
Anzahl der vierstelligen Zahlen = 9 * 10 * 10 * 10 = 9000
Es gibt also 9000 vierstellige Zahlen, die durch 45 geteilt sind und zwei mittlere Ziffern haben, die durch 9 und 7 geteilt werden.
